Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

26 AULA 2. A ITERAÇÃO DE GRÄFFE, DANDELIN OU LOBACHEVSKIIrio Belga. Esse método passou a ser conhecido no ocidente como métodode Dandelin-Gräe.Foi descoberto independentemente por Nicolai Ivánovich Lobachevskii(1792-1856) (Fig.2.1), hoje mais conhecido pela invenção da geometria nãoEuclidiana. O Tratado de Álgebra de Lobachevskii foi entregue ao censorem 1832, mas só foi publicado em 1834. Pesou contra ele o fato de estarem Kazan, longe dos centros intelectuais da Europa. Nos textos Soviéticos,falava-se do algoritmo de Lobachevskii.Cada um deles apresentou contribuições importantes para o método,que foi tornado mais rigoroso e eciente ao longo de dois séculos.Nesta aula, pretendo apresentar uma visão moderna da iteração deGräe-Dandelin-Lobachevskii. Quero mostrar que apesar de quase bicentenário,o algoritmo ilustra vários tipos de conexões de problemas numéricoscom áreas correntes da matemática.A principal referência para a versão moderna do algoritmo é o artigo [3],escrito em parceria com Jorge P. Zubelli. A referência histórica é [1].2.1 A iteraçãoSejaf(x) =d∑f j x j (2.1.1)j=0um polinômio de grau d, com coecientes reais ou complexos. Para simpli-car as contas, vamos assumir que f d = 1 (f é mônico).Do Teorema Fundamental da Álgebra, sabemos que f admite d raízescomplexas, contadas com multiplicidade. Sejam ζ 1 , . . . , ζ d essas raízes, eassumimos que estão ordenadas de modo que|ζ 1 | ≤ |ζ 2 | ≤ · · · ≤ |ζ d | .O polinômio f(x) também se escrevef(x) = (x − ζ 1 )(x − ζ 2 ) · · · (x − ζ d ) . (2.1.2)Igualando (2.1.1) a (2.1.2), deduzimos que os coecientes do polinômiof são (a menos de um sinal) as funções simétricas das raízes:f j = (−1) d−j σ d−j (ζ 1 , . . . , ζ d ) . (2.1.3)