Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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42 AULA 3. A PROCURA NA WEBNo nosso caso, temos a igualdade matricial u = Ri. Podemos resolver ocircuito:I T G R −1 I G q = 0 .A dimensão do espaço das soluções é dim ker I G , que é o número decomponentes conexos do grafo. Isso é razoável se o nosso circuito está noequilíbrio.Agora suponhamos que prescrevemos entrada ou saída de corrente emalguns dos vértices. Teremos agora:I T G R −1 I G q = j ,onde j corresponde ao intercâmbio de corrente. A matriz IG T R−1 I G é simétricae pode ser assimilada a um Laplaciano. A Lei de Ohm diz que aderivada da carga em um vértice é igual à soma das diferenças de potencial,ponderadas pela condutância (inversa da resistência). Nesse sentido, aequação acima corresponde também a um processo de difusão. A maneiracorreta de se denir a matriz de adjacência para um circuito de resistênciasé como a matriz das condutâncias:{ R−1(A G ) a,b =a,bSe (a, b) ou (b, a) ∈ E0 Em todos os outros casos.Nesse caso, denimos o grau de a como a soma das condutâncias dasarestas incidindo em a. Recuperamos portanto que:I T G R −1 I G = A G − D G = ∆ G .3.4 Digrafos e o GoogleDenição 3.8. Um digrafo simples ou directed simple graph) G é um par(V, E) onde V é um conjunto nito (seus elementos são chamados de vértices) e E ⊆ V × V. Os elementos de E são chamados de arestas . Arestas de umvértice nele mesmo são permitidas.Exemplo 3.9. A World Wide Web é modelada por um conjunto de páginas(associadas a um endereço http ou uniform ressource locator ) (vértices) eum conjunto de ligações orientadas (links) entre os vértices.Exemplo 3.10. O cérebro humano é composto de mais de 100 bilhões deneurônios. Cada neurônio é uma célula com dois prolongamentos (áxil edendrítico). Cada um desses prolongamentos se ramica em possivelmente
3.4. DIGRAFOS E O GOOGLE 43Figura 3.3: Domínio ctício de Web.milhares ou dezenas de milhares de extremidades. Potencial elétrico nocentro da célula (soma) é transmitido ao prolongamento áxil. Isso afeta oterminal dendrítico de outros neurônios em contato (sinapse), transmitindoassim a informação. A transmissão é unidirecional. Neurônios podem serativadores ou inibidores. De qualquer maneira, podemos modelar o uxo deinformação por um digrafo, onde os neurônios são os vértices e as sinapsessão as arestas. Um neurônio pode ter mil ou dez mil arestas.O invariante natural de um digrafo é a matriz de transferência, versãoorientada da matriz de adjacência:{1 Se (b, a) ∈ E(T G ) a,b =0 Em todos os outros casos.Essa matriz não é simétrica.Vamos supor que um programa rastejador (que vamos chamar de bot)percorre um grafo orientado G = (V, E) escolhendo, a cada vértice, umaaresta aleatória. Para xar as idéias, vamos considerar apenas o domínioda Figura 3.3. O bot se desloca de maneira aleatória, escolhendo arestas aoacaso.Quatro domínios disputam a atenção do bot, e todos têm uma bot trap: uma vez que o bot entrou em uma página, ele não consegue mais sair dosub-domínio.Se o bot chega em um vértice sem saída, ele pula para um vértice aleatório.Ainda, poderia car preso em um ciclo.
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