Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

1.7. OS PROBLEMAS MAL CONDICIONADOS 23onde U e V são matrizes ortogonais, e Σ é uma matriz diagonal real nãonegativa.Seja⎡⎤σ 1 σ 2 Σ = ⎢⎣. ..⎥⎦σ ncom σ 1 ≥ σ 2 ≥ · · · σ n > 0. Então, podemos escrever explicitamente:e‖A‖ F =√ ∑σ2iκ A =√ ∑σ2i /σ n .A menor perturbação que torna A singular é:⎡⎤0. .. δ A = U ⎢⎥⎣ 0 ⎦ V T−σ nque tem norma σ n . Logo, d(A, Σ)/‖A‖ F = σ n /‖A‖ F = 1/κ A , q.e.d.Resultados análogos foram descobertos para problemas como o problemade autovalores, problema de mínimos quadrados, solução de polinômios, desistemas de polinômios.Esses resultados sugerem o seguinte paradigma: O número de condicionamentopode ser interpretado como o inverso da distância à variedade dasentradas mal postas.Como todo paradigma, deve ser tomado com um certo cuidado. No casode polinômios e sistemas de polinômios, a igualdade é um pouco mais sutil:o número de condicionamento µ(f, ζ) é a inversa da distância medida dentroda bra das entradas f com solução em ζ ([1, Cap.12]).No caso do problema de autovalores não-simétrico, a distância é menorou igual a 1/ √ c 2 − 1 ≃ 1/c, onde c é o número de condicionamento ([2,Teorema 4.6]).No entanto, o paradigma acima permite atacar a perguntas como a seguinte:qual é a probabilidade de uma matriz ter número de condição menordo que um certo ɛ −1 ? Para isso precisamos denir uma medida de probabilidadesobre as matrizes. Por exemplo, se as coordenadas são variáveis aleatóriasGaussianas, identicamente e independentemente distribuídas, AlanEdelman mostrou [3, Cor. 7.1] quelimn→∞ Prob[κ < ɛ−1 ] = e −2nɛ−2n2 ɛ 2 .