Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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68 APÊNDICE A. COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARAlém da estrutura de grupo, O(n) e U(n) são variedades diferenciáveis.Objetos combinando essas duas propriedades são chamados de grupos deLie. Do ponto de vista geométrico, O(n) e U(n) são as transformaçõeslineares que preservam ângulos e distâncias.A.3 Obtendo bases ortonormaisSeja u 1 , . . . , u d base de E ⊆ K n . O processo de Gram-Schmidt permiteproduzir uma base ortonormal de E a partir dos u ′ i s.No primeiro passo, fazemos v 1 =u1. ‖u 1‖Indutivamente, fazemosw i = u i − ∑v j 〈v j , u i 〉1≤j
A.5. MATRIZES DE MÁRKOV 69Agora podemos explicar a popularidade das matrizes ortogonais em análisenumérica. Se A é uma matriz (real, complexa) n×n, e queremos calcularAx, mas conhecemos x com precisão relativa δ, então vamos conhecer Axcom precisão relativa‖A‖ 2 ‖x‖δ‖Ax‖≤ ‖A‖ 2 ‖A −1 ‖ 2 .Se A ∈ O(n), então teremos ‖A‖ 2 = ‖A −1 ‖ 2 = 1. Multiplicar por A ébenigno em relação ao erro acumulado.A.5 Matrizes de MárkovAs matrizes de Márkov ou matrizes estocásticas modelam um sistema comn estados, e probabilidades M ij de passar de um estado i a um estado j.Denição A.2. Uma Matriz de Márkov ou Matriz Estocástica é uma matrizquadrada M de tamanho n × n, com M ij ≥ 0 e, para toda coluna j,∑i M ij = 1. Ela é positiva se e somente se M ij > 0 para todos i e j.Observação A.3. Em parte da literatura, matrizes de Márkov são denidascomo matrizes com coordenadas não-negativas e onde a soma das coordenadasde cada linha é 1. Assim, estamos transpondo a denição, para podertrabalhar com um vetor coluna de probabilidades.O principal resultado sobre matrizes de Márkov garante (sob certas circunstâncias)a existência de um estado estacionário, que representa a probabilidadedo sistema se encontrar em cada estado após tempo innito.Teorema A.4 (Perron-Frobenius, caso Markoviano). Seja M uma matriz deMárkov. Então,1. Se λ é autovalor de M, então |λ| ≤ 12. 1 é autovalor de M.3. Todo autovalor λ de M diferente de 1 verica |λ| < 1.4. Existe um autovetor à direita, associado ao autovalor 1, cujas coordenadassão todas não-negativas.5. Se M for positiva, então o espaço dos auto-espaços com autovalorassociado 1 tem dimensão 1.
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