Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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46 AULA 3. A PROCURA NA WEB3.5 Busca na rede e a svdA matriz de transferência T foi denida assim: T vu = 1 se existe umaaresta orientada (u, v), senão T vu = 0. Jon M. Kleinberg [2] observou oseguinte: (T T T ) u1u 2conta o número de vezes que u 1 e u 2 apontam paraa mesma página. Isso mede quanto u 1 e u 2 concordam enquanto fontes dereferências.Vamos supor que um engenho de busca atribui peso a u para a página uenquanto fonte de referência. Quão bom é o vetor de pesos a? Do pontode vista da página u 1 , uma boa medida é (T T T a) u1 . Uma medida de quãoconsensual é o vetor a é a norma ‖T T T a‖. Kleinberg sugere utilizar oautovetor principal de T T T, que maximiza ‖T T T a‖, como peso para aspáginas enquanto fonte de referência.Já (T T T ) v2v 1conta o número de referências que apontam simultaneamentepara v 1 e v 2 . Kleinberg também propões utilizar o autovetor principalb de T T T como peso para as páginas enquanto conteúdo. (Ver exercício 3.3para vericar que podemos escolher b de tal maneira que b u ≥ 0).Esse algoritmo pode ser interpretado em termos da decomposição emvalores singulares (Teorema 1.4). Os vetores a e b podem ser escolhidosde tal maneira que ‖a‖ = ‖b‖ = 1. Nesse caso, eles são o vetor singularprincipal à direita (resp. vetor singular principal à esquerda) de T, e sãorelacionados porσ 1 b = T aonde σ 1 = ‖T ‖ 2 é o valor singular principal.Os índices de Kleinberg são manipuláveis. Uma página pode obter umalto índice de relevância enquanto fonte apontando para toda a internet.Para evitar esse tipo de manipulação, podemos substituir a matriz detransferência T pela matriz estocástica M.Vamos voltar ao nosso exemplo.calcular os vetores singulares é:Uma maneira pouco eciente de seoctave:28> [u,sigma,v]=svd(M)octave:29> p=u(:,1); q=v(:,1); p=p/sum(p); q=q/sum(q) ; [p,q]ans =0.040813 0.0413610.027973 0.0726570.050063 0.1027290.137383 0.0540220.036762 0.0604260.032024 0.093969
3.5. BUSCA NA REDE E A SVD 470.190207 0.0540220.059120 0.1391130.040813 0.0413610.027973 0.0514220.062892 0.0540220.087595 0.0554860.068793 0.0598030.068793 0.0598030.068793 0.059803Note que a fazenda de links da Egoísta.com perdeu a liderança nasbuscas !O algoritmo mais eciente para se achar autovetores principais (ou vetoressingulares principais) é a iteração: Escolher p 1 ao acaso, depois iterarp i+1 =(M T M)p i‖(M T M)p i ‖ .A velocidade de convergência é estimada facilmente utilizando o fato de queM T M é simétrica, e portanto (Teorema 1.3) admite uma base ortonormalde autovetores.Seja q o autovetor principal de M T M. Vamos escrever:p i = x i q + r i ,com r i ⊥ q. Então, a velocidade de convergência pode ser estimada por:‖r i+1 ‖x i + 1 ≤ λ 2λ 1‖r i ‖x ionde λ 1 ≥ λ 2 ≥ . . . são os autovalores de M T M (e λ j = σ 2 j ).A indústria de engenhos de busca na internet é altamente competitiva,e precisa se atualizar constantemente para combater Web spam , práticasdesonestas para obter (e vender) mais visibilidade. O combate ao Webspam pode exigir intervenção humana acoplada aos algoritmos [1] , ou reprogramaçãodos programas rastejadores que podem ser instruídos a nãofreqüentar certos domínios.A maioria dos algoritmos são segredos industriais ou foram patenteados2 .Este capítulo foi escrito com base na informação disponível publicamente,mas omiti aspectos computacionais importantes.2 Algoritmos são objetos matemáticos e portanto não são patenteáveis. No entanto,o departamento de patentes de alguns países aceita objetos matemáticos como parte deum processo industrial.
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