Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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12 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTEFigura 1.1: Representação de números de ponto utuante em precisão simples(padrão IEEE 754). Números de ponto utuante em precisão dupla sãorepresentados de maneira análoga com 52 bits de mantissa, 11 de expoentee um de sinal.Formato Precisão simples Precisão dupla IEEE-854dupla estendidaLinguagem C oat double long doubleBits de mantissa 23 52 64Bits de expoente 8+1 11+1 15+1Menor representável > 1 1 + 2 −23 1 + 2 −52 1 + 2 −64Menor arredondado a 1: 1 + 2 −24 1 + 2 −53 1 + 2 −65Figura 1.2: Padrão IEEE 754. Dados tirados de /usr/include/ieee754.h
1.3. O POLINÔMIO PÉRFIDO 13δA x + A δx = 0 .Ou seja,δx = A −1 δAxe o erro relativo da solução aproximada pode ser estimado por:Isso implica:‖δx‖‖x + δx‖ ≤ ‖x‖‖A−1 ‖ 2 ‖δA‖ F‖x + δx‖ .‖δx‖‖x + δx‖ ≤ ‖δA‖ F ‖δx‖‖A−1 ‖ 2 ‖A‖ F‖A‖ F ‖x + δx‖ .Seja κ A = ‖A‖ 2 ‖A −1 ‖ F . Nesse caso, obtemos:‖δx‖‖x + δx‖ ≤ κ ‖δA‖ FA .‖A‖ FEm outras palavras: O processo numérico utilizado para computar xproduziu a solução exata de um problema aproximado. O erro relativo nasolução x pode ser estimado pelo produto do erro relativo no problema, vezeso número κ A .O número κ A não depende do algoritmo utilizado para resolver o sistemade equações. Ele é um invariante que depende apenas dos coecientesdo sistema. É chamado de número de condicionamento da matriz A, associadoao problema de resolver Ax = b.No exemplo numérico acima, κ A ≃ √ 2ɛ −1 .1.3 O polinômio pérdoO polinômio pérdo de grau d (também conhecido como polinômio de Pochammer)é denido por:Por exemplo,p d (x) = (x − 1)(x − 2) · · · (x − d) .p 10(x) = x 10 − 55x 9 + 1320x 8 − 18150x 7 + 157773x 6 − 902055x 5 ++ 3416930x 4 − 8409500x 3 + 12753576x 2 − 10628640x 1 + 3628800.
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