Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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14 AULA 1. CONDICIONAMENTO, E A VARIEDADE DISCRIMINANTEUma maneira de se encontrar a raízes de polinômios de grau baixo é produzira matriz companheira associada a eles. Se f(x) = x d + f d−1 x d−1 +· · · + f 1 x + f 0 , então a matriz companheira de f é⎡⎤0 1 0 · · · 0. .. . .. .C f =. .. . .. ⎢..⎥⎣0 1 ⎦−f 0 −f 1 · · · −f d−2 −f d−1A matriz companheira foi construída de maneira que f fosse o seu polinômiocaracterístico (a menos do sinal):det C f − λI = (−1) d f(λ).Assim, reduzimos o problema de resolver um polinômio de grau d aoutro problema, que é o de achar os autovalores de uma matriz d × d.Existe excelente software numérico para achar autovalores. Vamos aplicaressa idéia ao polinômio pérdo.p=poly(1:10)C=[ [zeros(9,1),eye(9)]; -p(11:-1:2)]x=eig(C)x =10.000009.000008.000007.000006.000005.000004.000003.000002.000001.00000A solução parece correta. Mas conhecemos a solução exata, e podemosconferir:x - [10:-1:1]¡ans =
1.3. O POLINÔMIO PÉRFIDO 154.3965e-11-2.1128e-104.4744e-10-5.4329e-104.0626e-10-1.8595e-104.9097e-11-6.6769e-124.0634e-13-1.5654e-14Mais uma vez, a solução parece correta. O fato do Octave usar aritméticade dupla precisão deveria no entanto levantar suspeitas. O erro relativo decada operação aritmética em precisão dupla é de no máximo 2 −53 ≃ 10 −16 .Não está claro se o resultado é acurado. O mesmo acontece se utilizamos ocomando roots.Vamos agora repetir o experimento, com grau 20.p=poly(1:20)C=[ [zeros(19,1),eye(19)]; -p(21:-1:2)]x=eig(C)x =19.999419.005617.976917.052415.909215.102113.916813.055311.975311.00929.99759.00057.99997.00006.00005.00004.00003.00002.00001.0000O seguinte experimento mostra que a diculdade em se resolver polinômiospérdos não é bug do software ou deciência do algoritmo:p=poly(1:10)p(11)=p(11)*1.0001C=[ [zeros(9,1),eye(9)]; -p(11:-1:2)]x=eig(C)x =9.9990
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