Notas em Matemática Aplicada 36 - Laboratório de Matemática ...

1.2. ARREDONDAMENTO E CONDICIONAMENTO 11resolve(pow(2.0, -21)) ;resolve(pow(2.0, -22)) ;resolve(pow(2.0, -23)) ;resolve(pow(2.0, -24)) ;resolve(pow(2.0, -25)) ;resolve(pow(2.0, -26)) ;}gregorio@momentum:~/cnmac$ ./arredondax = [-1.000000000000e+00 -4.768373855768e-07x = [-1.000000000000e+00 -2.384186359450e-07x = [-1.000000000000e+00 -1.192093037616e-07x = [-2.000000000000e+00 -5.960465188082e-08x = [ 0.000000000000e+00 -2.980232238770e-08x = [ 0.000000000000e+00 -1.490116119385e-081.000000476837e+00]1.000000238419e+00]1.000000119209e+00]1.000000119209e+00]1.000000000000e+00]1.000000000000e+00]Quando ɛ é sucientemente pequeno, o resultado obtido para x 1 é zero !Isso se deve à maneira como os números reais são representados. Computadorestrabalham com grandezas aproximadas, representadas como númerosde ponto utuante. O formato padrão em uso nos computadores modernos(guras 1.1 e 1.2) prevê 23 bits de mantissa.O modelo de aritmética utilizado hoje em todos os computadores é opadrão IEEE754/854 [4, Cap. 2.3]. Este modelo constitui uma deniçãoaxiomática rigorosa da aritmética digital, embora permita diferentes implementações.As regras ou axiomas do padrão permitem provar teoremas sobrealgoritmos numéricos.Por outro lado, x 1 = 0 está longe da solução do sistema (1.1.2). Paraentender as implicações de se utilizar aritmética IEEE, é preciso entendernão apenas o efeito do arredondamento no algoritmo, mas ainda o conceitode condicionamento, que é independente do algoritmo.1.2 Arredondamento e condicionamentoUm estudo cuidadoso do algoritmo de eliminação Gaussiana sob a aritméticade ponto utuante [2, Seção 2.4.2] mostra que, se o computador produziruma solução x para o problema Ax = b, então x é a solução exata paraum problema aproximado,(A + δA) x = b .Além disso, prova-se que ‖δA‖ F ≤ 3nɛ‖L‖ F ‖U‖ F , onde A = P LU é afatoração PLU de A e ‖ · ‖ F denota a norma de Frobenius (Ver Apêndice,seção A.4).Subtraindo a equação Ax = b, obtemos: