Notas em MatemÃ¡tica Aplicada 36 - LaboratÃ³rio de MatemÃ¡tica ...

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32 AULA 2. A ITERAÇÃO DE GRÄFFE, DANDELIN OU LOBACHEVSKIIAté a invenção do computador digital, a iteração de Gräe-Dandelin-Lobachevskii e suas variantes eram o algoritmo escolhido para resolver polinômios.Isso mudou radicalmente com o advento do computador digital. Apósas primeiras experiências numéricas, cou claro que o expoente estouravarapidamente (Fig 1.1).Por exemplo, se começamos com coecientes da ordem de 2, em 10iterações apenas teremos coecientes da ordem de 2 21 0, que precisam de 2 1 0bits em representação inteira exata, e de em torno de 10 bits de expoenteem representação mantissa-potência de dois. Hoje utilizamos em torno de10 bits de expoente.Como apareceram algoritmos mais simples de implementar (ou implementadospor outras razões), o algoritmo cou esquecido.Utilizando a idéia de renormalização, não ocorre estouro do expoente,e a cada passo podemos fazer contas renormalizadas da maneira seguinte:Representação usual: Renormalização de ordem N:x = e 2N r+iα(r, α)y = e 2N s+iβ(s, β)x + y = e 2N t+iγ(t, γ) = (r, α) + k(s, β)xy = e 2N u+iδ(u, δ) = (r, α) + (s, β)Onde (assumindo r ≥ s:)t = 2 −N ∣log ∣e 2N r+iα + e 2N s+iβ∣∣= r log ∣1 + e 2N (s−r)+i(β−α)∣Note quee 2N (s−r)+i(β−α) =e i(β−α)1 + 2 N (r − s) + 1 2 22N (r − s) 2 + · · · .A soma renormalizada pode ser calculada de maneira estável. Quando2 N ≫ |r − s|, pode-se até aproximar (r, α) + k(s, β) pelo limite,⎧⎨ (r, α) Se r > s(r, α) + ∞(s, β) = (s, β) Se s < r .⎩(r, Indenido) Se r = sA primeira coordenada desse limite é conhecida hoje como soma tropicalde r e s.Denição 2.1. O semianel tropical é o anel R ∪ −∞ munido das operaçõesde soma tropical r + s = max(r, s) e produto tropical r × s = r + s.
2.3. PERTURBAÇÃO OU DERIVAÇÃO 33Existe também uma conexão com geometria simplética. Podemos relacionaro sistema de coordenadas renormalizado (r, α) ao espaço R × S 1munido da métrica induzida pelo pull-back da métrica de Fubini pela imersãode Veronesev : R × S 1 → P d(r, α) ↦→ c 0[1 : c1 e r+iα : · · · : c d e dr+diα]onde c i são constantes reais positivas. O fecho de R×S 1 é a variedade tóricaassociada aos polinômios a uma variável densos de grau d. O número desoluções é proporcional ao volume dessa variedade. Esse fato se generalizaa dimensão qualquer (Mais informações em [2]).2.3 Perturbação ou DerivaçãoComo mencionei acima, um dos métodos para se recuperar também o módulodas raízes era perturbativo: aplicar o algoritmo em f(x + ɛ) e emf(x − ɛ). Em análise numérica, esse tipo de algoritmos costumam ser umapéssima idéia por conta dos arredondamentos.É muito melhor utilizar cálculo diferencial. Algoritmos numéricos podemser derivados.Vamos considerar inicialmente uma curva de polinômios,f(x − ɛ) = (x − ζ 1 − ɛ) · · · (x − ζ d − ɛ) .Só iremos derivar o algoritmo uma vez e para ɛ ≃ 0. Por isso, escrevemos:onde podemos calcularf(x − ɛ) = f(x) + ɛ ˙ f(x) + O(ɛ 2 )˙ f(x) = −f ′ (x) .Agora podemos aproximar cada iteração por uma função am em ɛ:f(x) ↦→ Gf(x) = (−1) d f(x)f(−x)f(x) + ɛf(x) ˙(↦→ Gf(x) + ɛ (−1) d f(x) f(−x) ˙ + f(x)f(−x) ˙)A aplicação f +ɛf ˙ ↦→ Gf +ɛDG |f f˙é chamada em Cálculo em Variedadesde aplicação tangente.Iterando a aplicação tangente, obtemos uma linha de polinômios g(x)+ɛġ(x), de raízesZ j + ɛŻj = (ζ j + ɛ) 2N+ O(ɛ 2 ) = ζj2N(1 + 2 N ɛζ −1j ) + O(ɛ 2 ) .
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