Funktioner - Matematik

Øvelse
Sætning: Forskriften for en lineær funktion
Hvis funktionen f er lineær,
kan funktionsforskriften for f skrives:
f(x) = ax + b.
Bevis I
Først bevises, at hvis f er en lineær funktion og dens graf går gennem begyndelsespunktet
(0;0), kan funktionsforskriften for f skrives:
f(x) = ax
Vi tegner et almindeligt
retvinklet
koordinatsystem og
tegner grafen for en helt
”tilfældigt” valgt lineær
funktion gennem
begyndelsespunktet O
(origo). I første omgang
forudsættes, at grafen går
gennem 1. kvadrant.
Herefter vælges en
tilfældig, men positiv x-værdi i første omgang; senere kan vi vise (som en øvelse), at
selv om x-værdien er negativ, eller grafen går gennem 2. kvadrant, kan beviset
gennemføres på næsten samme måde.
Der tegnes to hjælpelinjer vinkelret på x-aksen gennem 1 og x på x-aksen, så der opstår
to ensvinklede trekanter, idet begge er retvinklede og de har en fælles vinkel O.
I den farvede trekant kaldes længden af den lodrette katete for a. Da skalafaktoren
mellem trekanterne nemt ses at være k = x/1 = x, bliver længden af den anden lodrette
katete a*x. Men længden er jo også funktionsværdien i x; dvs.
f(x) = a*x
Hermed er første del af sætningen bevist, men kun hvor a og x er positive tal.
Udvid beviset
Følg linket til øvelserne på internettet:
http://pc-p4.mimimi.dk/c/retLinje.html
142