Funktioner - Matematik

Løsning af en eksamensopgave
Sammenhængen mellem diameter og højde for visse amerikanske træer kan beskrives ved
modellen
y=21,4⋅x 0,631
hvor x (meter) er træets diameter 1,5 meter over jorden, og y (meter) er træets højde.
Et bestemt træs diameter er over en periode vokset med 40 %.
a) Hvor mange procent højere er dette træ blevet?
Kilde: T. McMahon: Size and shape in biology, Science 179, 1973.
(Hf, Matematik C, maj 2006, opgave 8)
Besvarelse
At x-værdien forøges med 40 % svarer til at x-værdien ganges med faktoren k = 1,40
Da sammenhængen beskrives med en potensfunktion ( f x=b⋅x a
) gælder det:
at når x-værdien vokser med faktor k vokser y-værdien med faktor k a .
I eksemplet her fås ved indsætning, at y-værdien vokser med faktoren: 1,40 0,631 .= 1,2365 = 1,237
Dvs. at et træ, der har en 40 % større diameter, er 23,7 % højere (ifølge modellen.) 25
Omvendt proportionalitet
x 4 8 84
y 24 96
I mange opgaver vil der være givet en x-værdi og den tilsvarende y-værdi som her
(hhv. 4 og 24.)
Opgaven består så så i at finde tilsvarende talpar, hvor den ene værdi kendes.
Løsningsmetoden er: at ganges en x-værdi med k, skal den tilsvarende y-værdi deles
med k. Eller hvis x-værdien deles med k, skal y-værdien ganges med k.
Du vil finde tallet under x-værdien 8. Faktoren k (tallet du ganger 4 med) er
selvfølgelig 2, derfor skal y-værdien deles med 2: Den nye y-værdie er altså 24/2 = 12.
Nu skal du finde tallet over y-værdien 96: 24 er ganget med 4; altså skal 4 deles med 4.
Over 96 skrives 4:4 = 1.
Men hvad skal der stå under 84? Her kan du ikke straks se, hvad 4 er ganget med. Du
kan finde k = 84/4 = 21. Find så y-værdien! Eller prøv en anden måde: Benyt tallene ved
siden af, hvor x=1 og y = 96. Her fås k=84 som x-værdien ganges med og y-værdien
deles med. Forhåbentligt med samme resultat som før.
25 Bemærk, at der optræder en overflødig oplysning i opgaven – hvilket er usædvanligt.
189