Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

1.4 Abschätzungen
In diesem Kapitel sollen weniger theoretische Grundlagen präsentiert werden;
stattdessen sollen einige Beispiele gegeben werden, wie man in Einzelfällen
vorgehen kann. Hierbei wollen wir uns grob an zwei Aspekten ausrichten.
Zum einen sollen Abschätzungen bzgl. des Vorzeichens eines komplizierten
Ausdrucks vorgenommen werden, zum anderen sollen einige Möglichkeiten
dargestellt werden wie komplizierte Ausdrücke durch Abschätzungen zwar
ungenau, dafür aber von der Gestalt her einfacher werden. Ein Beispiel für
Letzteres ist das Anwendungsbeispiel des letzten Kapitels.
Anwendungsbeispiel (Vorzeichenabschätzung):
In einem Land mit einem Güter-, einem Geld- und einem Devisenmarkt kann
der Multiplikator für den Einfluss der Staatsausgaben auf das Bruttoinlandsprodukt
wie folgt lauten:
dY
dG = −Uh′ (−Qq∗ + J + q∗Jq ∗ − Xq∗) Hierbei bezeichnet der Index q∗ die Ableitung nach q∗ .Qq∗ ist also die Ableitung
der Funktion Q nach der Variablen q∗ . Nun stellt sich die Frage, ob
bei einem Anstieg der Staatsausgaben das Bruttoinlandsprodukt steigt (das
heißt dY
dG
ist positiv) oder fällt (das heißt dY
dG
ist negativ). Während man für
die ganzen Variablen keine exakten Werte hat, die man einsetzen kann, so
weiss man doch, ob sie positiv oder negativ sind. So sind die Importe J immer
positiv, da keine negativen Werte importiert werden können. Ebenso verhält
es sich mit dem Wechselkurs q ∗ . Ferner weiß man aus anderen theoretischen
Arbeiten, dass bei steigenden Wechselkursen die Importmenge zunimmt und
somit Jq∗ positiv ist. Ferner weiß man aus anderen Untersuchungen, dass U
und Qq ∗ negativ sind und h′ positiv ist.
Wenn aber q∗ und Jq∗ positiv sind, dann ist auch q∗Jq ∗ positiv. Und da J
auch positiv ist, ist auch J + q∗Jq ∗ positiv. Außerdem, wenn Qq∗ negativ
ist, dann ist −Qq∗ positiv. Dies heißt aber, dass der ganze Ausdruck in der
runden Klammer positiv ist, da −Qq∗ + J + q∗Jq ∗ positiv ist. Ferner ist U
negativ, also ist −U positiv und mit einem positiven h ′ ist auch −Uh ′ positiv.
Multipliziert man diesen positiven Ausdruck mit der dem Ausdruck in der
Klammer, der auch positiv ist, so ist das Ergebnis wieder positiv. Somit ist
nachgewiesen, dass der betrachtete Multiplikator positiv ist. Also:
dY
> 0
dG
Mit Rückgriff auf die praktische Bedeutung heißt das, dass eine Steigerung
der Staatsausgaben zu einem Anstieg des Bruttoinlandproduktes führt.
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