Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

Hierbei ist C0 eine Zahl, die in dieser allgemeinen Lösung der DGL nicht
genauer bestimmt werden kann. Hierzu benötigt man eine Anfangsbedingung
der Form X(0) = t0 um C0 genauer zu bestimmen. Wir wollen allerdings nicht
genauer auf diesen Aspekt eingehen.
Der erste Schritt, diese DGL etwas allgemeiner zu gestalten, ist, dass man
auf der rechten Seite anstelle der 0 eine beliebige Zahl b zulässt, die nicht
von t abhängt.
dX
+ aX = b, a, b ∈ R (2.1)
dt
Auch hier kann die Lösung der DGL relativ einfach bestimmt werden und
lautet:
X(t) = C0e ′−at + b
, a, b ∈ R
a
Man erkennt, dass man für b=0 wieder genau das selbe Ergebnis bekommt
wie für die homogene DGL.
In einem nächsten Schritt wollen wir die Voraussetzung von konstanten Koeffizienten
aufheben. Hierzu kehren wir zu der homogenen Ausgangs-DGL
zurück und ersetzen den Koeffizienten a durch die Funktion p(t):
dX
dt
+ p(t)X = 0
Um die Lösung dieser DGL zu bestimmen, kommt man nun nicht mehr herum,
Integrale zu berechnen 6 . Insbesondere ist die Lösung der DGL gegeben
als:
X(t) = C0e ′−R p(z)dz
Ein nächster Schritt ist es von DGL 2.1 auszugehen und auch anstelle von b
eine Funktion r(t) einzuführen:
dX
dt
+ p(t)X = r(t)
Auch für die Lösung dieser Differentialgleichung ist es notwendig, Integrale
zu berechnen. An der folgenden Lösung erkennt man deutlich, dass der erste
Teil mit der Lösung der entsprechenden homogenen DGL übereinstimmt.
Man nennt dies auch die homogene Lösung der DGL und den zweiten Teil
der Lösung nennt man auch eine partikuläre Lösung der DGL.
X(t) = C0e ′−p(t) + e ′−p(t)
e ′p(z) r(z)dz
6 Auf Integralrechnung soll an dieser Stelle nicht eingegangen werden, da diese Form
von DGLs in der VWL eher selten sind.
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