Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

nur eine erste Ableitung und somit nur die Notwendige Bedingung df
= 0 dx
hat, besteht die Notwendige Bedingung der Funktion f(x, y) aus den zwei
Gleichungen df
df
= 0 und = 0.
dx dy
Da es allerdings noch Punkte der Funktion geben kann, in denen die erste
Ableitung 0 ist, die aber keine Extrema der Funktion sind, benötigt man
noch die Hinreichende Bedingung.
Hinreichende Bedingung:
Um entscheiden zu können, ob es sich bei einem Punkt, der die Notwendige
Bedingung erfüllt, tatsächlich um ein Extremum handelt, gibt es mehrere
Möglichkeiten. Die Variante, die hier benutzt wird, ist allerdings die bekannteste.
Man bestimmt zuerst die zweite Ableitung und setzt in diese die möglichen
Extrema ein. Ist das Ergebnis positiv, so handelt es sich um ein Minimum,
ist das Ergebnis negativ, so handelt es sich um ein Maximum. Sollte als Ergebnis
0 rauskommen, so kann man keine Aussage treffen und muss auf eine
andere Alternative ausweichen. In Bereichen der VWL mit denen wir uns hier
beschäftigen, reicht diese Regel allerdings voll und ganz aus, da bisweilen bereits
im Vorhinein bekannt ist, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt und
sich lediglich die Frage stellt, an welcher Stelle sich dieses Extremum befindet.
Entsprechend kann unter bestimmten Umständen auch auf die Hinreichende
Bedingung verzichtet werden.
Während bis zu diesem Punkt stets davon ausgegangen wurde, dass eine
Ceteris Paribus Maximierung bzw. Minimierung stattfindet, ist eine Maximierung
auf Basis des totalen Differentials ebenso möglich. Hier wird als
Notwendige Bedingung das totale Differential wie im letzten Abschnitt bestimmt
und gleich 0 gesetzt. Aus dieser Gleichung bestimmen sich dann die
möglichen Extrema der Funktion.
Beispiel (Ceteris Paribus):
Zuerst wollen wir komplett losgelöst von praktischen Gesichtspunkten die
folgende Funktion betrachten:
f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 2
Die ersten Ableitungen bestimmen sich wie folgt:
2 2x + y
∇f(x, y) =
2y + 2xy
Diese ersten Ableitungen setzen wir gleich 0 und formen um.
2x
0
=
−y2
y(2x + 2)
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