Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

2.4 Elastizität
Während man die Ableitung zum Beispiel einer Produktionsfunktion nach
dem Kapital K auch so auffassen kann, dass durch sie angegeben wird, um
wieviel Einheiten sich Y erhöht, wenn man das Kapital um eine Einheit
erhöht, so gibt es noch eine weitere Möglichkeit, solche Einflüsse zu messen.
Dies geschieht durch die Elastizität. Die Elastizität einer Funktion f(x) an
der Stelle x0 gibt an, um wieviel Prozent sich f ändert wenn man die Variable
x ausgehend von x0 um ein Prozent erhöht. Die Elastizität berechnet sich wie
folgt:
Ef,x = ɛf (x) = x f ′ (x)
f (x)
Beispiel:
Seien eine Funktion und ihre erste Ableitung wie folgt gegeben:
p(t) = exp(t 2 ) und p ′ (t) = 2t ∗ exp(t 2 )
Dann berechnet sich die Elastizität der Funktion p als:
ɛp (t) = t p′ (t)
p (t) = t2t ∗ exp(t2 )
exp(t2 )
= t ∗ 2t = 2t2
Liegt die Elastizität zwischen -1 und 1 so sagt man auch, dass die Funktion
unelastisch ist. Ist die Elastizität hingegen größer als 1 oder kleiner als -1,
so sagt man, dass die Funktion elastisch ist. Um zu verstehen, was das im
Einzelnen bedeutet betrachten wir das folgende Beispiel:
Anwendungsbeispiel 1:
Betrachten wir eine Produktionsfunktion: Y = lnX
Für die Elastizität gilt dann:
Ef,x = x 1/X
lnX
= 1
lnX
Anwendungsbeispiel 2:
Größen, mit denen man sich insbesondere in der Mikroökonomie beschäftigt,
die in ihrer aggregierten Form allerdings auch für die Makroökonomie interessant
sind, sind die Angebots- und Nachfrageelastizitäten. Seien Angebotsund
Nachfragefunktion wie folgt gegeben (P gibt hierbei den Preis des betrachteten
Gutes an):
QA(P ) = 8 − 2P
QN(P ) = 2 + 0, 5P
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