Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

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Man erkennt an der zweiten Gleichung, dass entweder y = 0 oder x = −1 sein muss. Für y = 0 folgt als Lösung direkt, dass auch x = 0 ist. Für x = −1 lautet die erste Gleichung: −2 = −y 2 und somit gilt: y 2 = 2.Dies bedeutet aber, dass es zwei Lösungen gibt: y1 = √ 2 und y2 = − √ 2 Zu überprüfen ist nun nur noch, ob es sich bei den bestimmten möglichen Extrema tatsächlich um welche handelt und sollte dies der Fall sein, ob Maxima oder Minima vorliegen. Hierzu bestimmen wir die zweiten Ableitungen der Funktion und setzen in diese die potentiellen Extremstellen ein. 2 2y Hf(x, y) = 2y 2 + 2x 2 0 Hf(0, 0) = 0 2 Da sowohl der linke obere Eintrag dieser Matrix sowie die Determinante positiv sind, ist die Matríx positiv definit und es liegt ein Minimum vor. Hf(−1, √ √ 2 2 2 2) = 2 √ 2 0 Hier ist das linke obere Element positiv und die Determinante negativ. Aufgrund dieser Tatsache ist die Matrix indefinit, es liegt also kein Extremum vor. Hf(−1, − √ 2) = 2 −2 √ 2 −2 √ 2 0 Hier sind wieder sowohl das linke obere Element als auch die Determinante positiv und somit ist die Matrix positiv definit. Es liegt also an der gerade betrachteten Stelle ebenfalls ein Extremum, insbesondere ein Minimum vor. Anwendungsbeispiel (Totales Differential): Während man bei den beiden obigen Beispielen die Lösungen explizit ausrechnen konnte, bietet eine Extremwertbestimmung auf Basis des totalen Differentials lediglich die Möglichkeit, eine Bedingung herzuleiten, die erfüllt sein muss, damit ein Extremum vorliegt. In dem Fall, dass die betrachtete Funktion lediglich von einer Variablen abhängt, wird das selbe Ergebnis bestimmt wie bei einer Extremwertberechnung nach obigem Beispiel. Allerdings ist es auch im Fall einer Funktion in mehreren Veränderlichen aus Sicht der VWL akzeptabel, sich nur mit einer Bedingung zufrieden geben zu müssen, da, wie bereits erwähnt, zumeist bereits klar ist ob ein Minimum oder Maximum vorliegt und lediglich eine Bedingung gesucht wird, die sicherstellt, dass dieses Extremum auch angenommen wird. 23
Im besonderen wollen wir hier das Beispiel der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion aus dem Kapitel über das totale Differential wieder aufgreifen und genauer betrachten. Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist dabei gegeben als: Y = K β L 1−β Bestimmt man zu dieser Funktion das totale Differential und setzt dieses gleich 0 so erhält man: 0 = βK β−1 L 1−β dK + (1 − β)K β L −β dL = βk β−1 dK + (1 − β)k β dL Bringt man den zweiten Term auf die andere Seite und löst nach dK auf, so dL erhält man: βk β−1 dK = (β − 1)k β dL dK dL dK dL = (β − 1)kβ βk β−1 (β − 1) = k β Da β zwischen 0 und 1 liegt, k allerdings (zumindest in einem sinnvollen volkswirtschaftlichem Kontext) stets positiv ist, ist der gesamte Ausdruck dK dL negativ. Entsprechend wurde durch diese Aufgabe gezeigt, dass im Optimum eine Erhöhung des Faktors Arbeit stets eine Verringerung des Faktors Kapital nach sich zieht. 24
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