Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

Benutzt man die entsprechende Lösungsformel für eine DGL mit nicht-konstanten
Koeffizienten, so erhält man die folgende allgemeine Lösung:
X(t) = C0e −0,5t2
+ e −0,5t2
2ve 0,5v2
dv
X(t) = C0e −0,5t2
+ 2e −0,5t2
e 0,5t2
X(t) = C0e −0,5t2
+ 2
Um den Parameter C0 bestimmen zu können, benutzen wir die Anfangsbedingung
X(0) = 1.
X(0) = C0e −0,5∗02
+ 2 = 1 ⇒ C0 + 2 = 1 ⇒ C0 = −1
Damit ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben als:
X(t) = −e ′−0,5t2
+ 2
Beispiel (Bernoulli-DGL):
Ein einfaches Beispiel für eine Bernoulli-Differentialgleichung ist die folgende
DGL:
dX
dt = X(t)2 − X(t), mit X(0) = 2
Gemäß Lösungsformel ergibt sich:
X(t) = C0e −t + 1 −1 =
1
C0e −t + 1
Benutzt man nun auch hier die Anfangsbedingung, so bestimmt sich der
Parameter C0 auf folgende Weise:
X(0) =
1
C0e −0 + 1 = 2 ⇒ 1 = 2(C0 + 1) ⇒ C0 = −0, 5
Somit lautet die spezielle Lösung des Anfangswertproblems:
X(t) =
1
−0, 5e −t + 1
= − 2
e −t − 2
Anwendungsbeispiel (Neoklassisches Wachstumsmodell):
Nachdem nun das Prinzip des Rechnens mit Differentialgleichungen einigermassen
veranschaulicht wurde, stellt sich die Frage nach Anwendungsmöglichkeiten
dieser DGLs innerhalb der VWL. Hierzu kann man sich merken,
dass es mit DGLs sehr einfach ist, Schwingungen und Wachstumsvorgänge
zu modellieren. Entsprechend ist das Haupteinsatzgebiet in der VWL die
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