Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

2.6 Halbwertszeiten
Halbwertszeiten haben weniger mit Differenzieren als mit allgemeiner Physik
zu tun. Da wir allerdings in diesem Kapitel einige Beispiele diskutiert haben
die in Bezug auf die in diesem Abschnitt vorgestellten Überlegungen relevant
sind, ist dieses Kapitel der ideale Ort, um über dieses Thema zu sprechen.
Doch, wie kommt man von der physikalischen Halbwertszeit zu einer volkswirtschaftlichen
Halbwertszeit und was hat es überhaupt damit auf sich.
Im wahrsten Sinne des Wortes handelt sich bei der Halbwertszeit um die
Zeit, nach der sich eine bestimmte Größe halbiert hat. In der Physik ist dies
die Menge an radioaktivem Müll, in der Ökonomie Phänomene wie Arbeitslosigkeit
oder technische Lücken. Wir wollen uns dem Thema zur besseren
Erklärung zunächst über ein Beispiel näheren. In einem der vorhergehenden
Anwendungsbeispiele wurde eine von der Zeit abhängige Darstellung des
Pro-Kopf-Einkommens hergeleitet und es wurde der Steady-State Wert für
eben dieses bestimmt. Diese beiden Ergebnisse sollen hier kurz wiedergegeben
werden:
y ′ (t) =
C0e ′−(n+a)(1−β)t + s
y ′ # =
a + n
s
a + n
β
1−β
β
1−β
Da der Steady-State-Wert y ′ # erst nach einer sehr sehr langen Zeit erreicht
wird, kann es möglicherweise interessant sein zu wissen, zu welchem Zeitpunkt
t der Steady State Wert zumindest zur Hälfte (sprich zu 50%) erreicht
ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn y ′ (t) = 0, 5∗y ′ # ist. Nun besteht
38