Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

2.3 Maximierung versus Minimierung
Eins der Ziele der Volkswirtschaftslehre ist es eine optimale Situation zu
beschreiben bzw. Bedingungen zu benennen, die für das Erreichen dieser
optimalen Situation notwendig sind. Aber was heißt eigentlich optimale Situation.
In einer optimalen Situation sollen negative Größen wie zum Beispiel
die Arbeitslosigkeit oder die Inflation möglichst gering sein. Alternativ sollen
Größen wie das Pro-Kopf-Einkommen oder der Kapitalbestand möglichst
groß werden. Man verfolgt also stets das Ziel, eine oder mehrere Größen zu
maximieren oder zu minimieren. Sonderfälle finden sich zum einen dann,
wenn mehrere Größen gleichzeitig maximiert und / oder minimiert werden
sollen. Zum anderen kann es aber auch sein, dass der Optimierungsprozess
nur innerhalb bestimmter Grenzen ablaufen kann, so dass solche Grenzen
als Nebenbedingungen Zugang in das Optimierungsproblem finden. In dem
einfachsten Fall, dass nur Gleichungen als Nebenbedingungen vorliegen, kann
man die Probleme mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren lösen. Bevor wir
im zweiten Teil dieses Abschnitts auf diese Lagrange-Multiplikatoren eingehen,
werden wir zuerst diskutieren wie eine Optimierung durchgeführt wird,
wenn keine Nebenbedingungen vorliegen.
2.3.1 Extremwerte
Zu diesem Zweck unterscheidet man zwischen einer Notwendigen Bedingung,
die bisweilen auch als first order classification bezeichnet wird und einer Hinreichenden
Bedingung .
Notwendige Bedingung:
Die Notwendige Bedingung dient dazu, potentielle Maxima und Minima
(oder zusammenfassend Extrema) zu bestimmen. Zu diesem Zweck verdeutlicht
man sich, dass ein Extremum dadurch gekennzeichnet ist, dass an der
Stelle des Extremums, sprich an dem jeweiligen Scheitelpunkt der Funktion
genau eine Steigung von 0 vorliegt. Dies macht insoweit Sinn, als dass eine
Funktion zum Beispiel vor einem Maximum steigt, also eine positive Steigung
hat und nach einem Maximum fällt, also eine negative Steigung hat. Somit
muss sie im Maximum eine Steigung von 0 haben. Aus dem letzten Abschnitt
wissen wir aber, dass die Steigung einer Funktion hinsichtlich einer einzelnen
Variablen durch ihre erste Ableitung bzgl. dieser Variablen gegeben ist.
Die erste Ableitung einer Funktion muss somit an der Stelle des Extremums
0 sein. Berechnet man entsprechend alle Stellen, an denen die erste Ableitung
einer Funktion 0 wird, so erhält man alle möglichen Extrema. Bei einer
Funktion, die von mehreren Variablen abhängt, müssen die Ableitungen bzgl.
aller Variablen gleich 0 sein. Während man bei einer Funktion der Form f(x)
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