Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

Problem:
Max. x(v1, v2) = v 0,5
1 v 0,3
2
so dass 1000 = 2v1 + 3v2
Die zu diesem Problem zugehörige Lagrangefunktion lautet:
L(v1, v2, λ) = v 0,5
1 v 0,3
2 + λ(2v1 + 3v2 − 1000)
und ihre Ableitungen sind gegeben als:
⎛
0, 5v −0,5
1
v 0,3
2 + 2λ
⎞
∇L(v1, v2, λ) = ⎝ 0, 3v 0,5
1 v −0,7
2 + 3λ ⎠
2v1 + 3v2 − 1000
Setzt man diese Ableitungen gleich 0 und teilt die erste Gleichung durch 2
und die zweite Gleichung durch 3, so erhält man:
⎛
0, 25v
⎝
−0,5
1 v 0,3 ⎞ ⎛
2
⎠ = ⎝
−λ
−λ
1000
⎞
⎠
0, 1v 0,5
1 v −0,7
2
2v1 + 3v2
Aus den ersten beiden Gleichungen folgt, dass 0, 25v −0,5
1
und somit 2, 5v 0,3
2
= v1v −0,7
2
v 0,3
2
= 0, 1v 0,5
1 v −0,7
2
dies bedeutet aber, dass gilt: 2, 5v2 = v1. Dies
kann man in einem nächsten Schritt für v1 in die dritte Gleichung einsetzen,
so dass man 1000 = 5v2 +3v2 = 8v2 erhält. Ausgerechnet ergibt dies v2 = 125
und setzt man dies in die zuvor bestimmte Gleichung ein, so erhält man v1 =
312, 5. Die ursprüngliche erste Gleichung liefert dann für λ den Wert 0,0602.
Dieser Wert - das λ - gibt an, wieviel Einheiten des zu produzierenden Gutes
bei einer Abweichung um eine Einheit von der Budgetgeraden zusätzlich
hergestellt werden können. Daher wird λ auch als Schattenpreis bezeichnet.
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