Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

2.2.2 Totales Differential
Im Gegensatz zu den gewöhnlichen Ableitungen aus dem letzten Abschnitt,
bei denen der Einfluss einer exogenen auf die endogene Größe ceteris paribus
betrachtet wurde, untersucht man bei der Bildung des totalen Differentials
den Einfluss aller exogenen Größen auf die endogene Größe. Da alle exogenen
Größen an diesem Prozess beteiligt sind, benötigt man auch sämtliche partielle
Ableitungen. Weiterhin muss man unterscheiden, auf welche Art eine Funktion
f vorgegeben ist. Liegt die Gleichung in der Form f(x1, x2, x3, ...) = 0
vor oder kann sie in dieses Format überführt werden, so bestimmt sich das
totale Differential über die zweite der zwei folgenden Gleichungen. Liegt die
Funktion f(x1, x2, x3, ...) allerdings in einer Form vor, so dass sie nicht in
die Form f(x1, x2, x3, ...) = 0 umgewandelt werden kann, so benutzt man die
erste Gleichung zur Bestimmung des totalen Differentials.
f (x, y, z) ⇒
f (x, y, z) = 0 ⇒
df = ∂f ∂f ∂f
dx + dy +
∂x ∂y ∂z dz
0 = ∂f ∂f ∂f
dx + dy +
∂x ∂y ∂z dz
Beispiel:
a) Die Gleichung x 2 y − y 3 = 4y − 1 lässt sich umschreiben zu:
x 2 y − y 3 − 4y + 1 = 0
Somit ist f(x, y) = x 2 y − y 3 − 4y + 1 = 0 und es muss die zweite Gleichung
benutzt werden:
0 = (2xy)dx + (x 2 − 3y 2 − 4)dy
b) Ist hingegen die Funktion f(x, y) = x 2 y − y 3 − 4y + 1 gegeben, so ist die
erste Gleichung zu benutzen, da f(x, y) nicht notwendigerweise immer gleich
Null ist. Entsprechend ergibt sich:
df = (2xy)dx + (x 2 − 3y 2 − 4)dy
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