Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

Anwendungsbeispiel (Technischer Fortschritt):
Das Niveau des technischen Fortschritts lässt sich zum Beispiel in Abhängigkeit
der Zeit formulieren als:
a(t) = a ∗ +ze −a′ t
Hierbei sind a∗, z und a ′ exogene Konstanten. Nun ist interessant zu untersuchen,
wie sich der technische Fortschritt auf lange Sicht entwickelt. Um diesen
Steady State Wert des technischen Fortschritts zu bestimmen, berechnen wir
den Grenzwert der obigen Funktion.
lim a(t) = lim
t→∞ t→∞ a ∗ +ze−a′ t
= a ∗ +0 = a∗
Anwendungsbeispiel (Wirtschaftswachstum):
Gegen Ende dieses Kapitels werden wir im Rahmen der neoklassischen Wachstumstheorie
für das Pro-Kopf-Einkommen zum Zeitpunkt t - y(t) - die folgende
Formel herleiten:
y(t) =
C0e ′−(n+a)(1−β)t + s
β
1−β
a + n
Hier ist n die Wachstumsrate der Bevölkerung, s die Sparquote; e ′ ist die
Eulerzahl und c0 ist ein Wert, der aus der Anfangssituation zu bestimmen
ist.
Betrachtet man das Pro-Kopf-BIP für einen sehr weit entfernten (unendlich
fernen) Zeitpunkt, so bestimmt sich das Pro-Kopf-BIP als Grenzwert mit
t → ∞. Durch eine solche Untersuchung kann gezeigt werden, ob sich das Pro-
Kopf-BIP einem bestimmten Wert annähert oder ob es stetig weiterwächst.
Im ersten Fall existiert ein Grenzwert für y(t), den man auch als Steady-
State-Wert bezeichnet. Um diesen Wert zu berechnen, führt man sich vor
Augen, dass im Exponenten der Funktion y(t) kein t vorkommt. Somit muss
man zuerst nur den Teil innerhalb der Klammer betrachten. Hier kommt
nur im ersten Term ein t vor. Insbesondere konvergiert dieser erste Term
analog zu den letzten Beispiel gegen 0. Was in dem letzten Beispiel a ′ genannt
wurde, heißt in diesem Beispiel (n + a)(1 − β) und z heißt C0; aber die
Argumentation ist komplett analog. Somit muss man nur den zweiten Term
und den Exponenten weiter betrachten. Entsprechend ergibt sich als Steady-
State-Wert:
lim C0e
t→∞
′−(n+a)(1−β)t + s
β
1−β
a + n
15
=
s
a + n
β
1−β