Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

Hierbei sind f(t) und g(t) Polynome. Ferner sei v der Grad 2 von f(t) und w
der Grad von g(t). Dann kann man drei Fälle unterscheiden. Im ersten Fall
ist v > w, dann gilt:
f(t)
lim
t→∞ g(t)
Im zweiten Fall ist v < w, dann gilt
f(t)
lim
t→∞ g(t)
= ∞
Der dritte Fall, bei dem v = w ist, ist etwas schwieriger. Hierbei muss man
den Wert, der vor dem Term mit dem größten Exponenten in f(t) und den
Wert, der vor dem Term mit dem größten Exponenten in g(t) steht betrach-
ten. In dem Beispiel:
= 0
t
lim
t→∞
2 − 3t
3 − 3t2 ist sowohl der Grad von f(t) als auch der Grad von g(t) gerade 2. Der Ausdruck
mit dem höchsten Exponenten in f(t) und in g(t) ist t 2 und vor dem
t 2 steht in f(t) eine 1 und in g(t) eine -3. Der Grenzwert der gesamten Folge
ergibt sich, indem man den Wert aus f(t) durch den Wert aus g(t) teilt. Es
gilt also:
lim
t→∞
t2 − 3t 1
=
3 − 3t2 −3
= −1
3
Weiterhin spielen in der VWL Funktionen / Folgen der folgenden Art eine
Rolle, um die verschiedensten Vorgänge zu beschreiben.
an = exp(−bn) = e −bn = 1
e bn
Da die Exponentialfunktion für größer werdende n immer größer wird, gilt:
lim
n→∞ an = lim exp(−bn) = lim e
n→∞ n→∞ −bn = lim
n→∞
Entsprechend gilt für Erweiterung folgender Bauweise:
lim exp(−bn) + g = 0 + g = g
t→∞
1
= 0
ebn 2 Der Grad eines Polynoms ist der größte vorkommende Exponent. Zum Beispiel hat
f(x) = x 3 + x 4 + 3x den Grad 4.
14