Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

Greift man die DGL 2.1 nochmal auf, so kann man sie ein wenig erweitern,
indem man eine Differentialgleichung der folgenden Form betrachtet:
dX
dt
+ aX = bXβ
In diesem Fall spricht man auch von einer Bernoulli-Differentialgleichung.
Für diesen Typ soll an dieser Stelle kurz dargestellt werden wie eine solche
Differentialgleichung in eine Differentialgleichung vom Typ 2.1 transformiert
werden kann, so dass man zur Lösung auch die Lösung für 2.1 verwenden
kann.
Zuerst wird durch X β geteilt. Um diesen Schritt besser nachvollziehen zu
können, ruft man sich in Erinnerung, dass teilen durch X β dasselbe ist, wie
multiplizieren mit X −β , da X −β = 1
X β . Die gesamte Gleichung wird entsprechend
mit X −β mutlipliziert, was wie folgt aussieht:
−β dX
X
dt + aXX−β = bX −β X β
Nun sieht man bereits, dass sich das X −β und das X β auf der rechten Seite
wegkürzen. Ferner lassen sich X und X −β zusammenfassen, da X = X 1 ist.
Es folgt somit:
−β dX
X
dt + aX1−β = b (2.2)
Setzt man nun V = X1−β , so folgt mittels der Kettenregel und unter Beachtung,
dass X = X(t) ist:
dV
dt
1 dV
1 − β dt
dX
= (1 − β)X−β
dt
dX
=
dt X−β
Diesen Ausdruck kann man dann in Gleichung 2.2 einsetzen und erhält die
folgende Differentialgleichung, die in der Form von Gleichung 2.1 vorliegt:
1 dV
1 − β dt
+ aV = b
Zum Abschluss mutlipliziert man die Gleichung noch mit (1 − β), so dass
man das Ergebnis hiervon auf Basis von 2.1 bestimmen kann.
dV
dt
+ a(1 − β)V = (1 − β)b ⇒
V (t) = C0e ′−a(1−β)t + b
a
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