Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

So berechnen sich die entsprechenden Elastizitäten folgendermassen:
−2
ɛQA (P ) = P
8 − 2P
0, 5
ɛQN (P ) = P
2 + 0, 5P
= −2P
8 − 2P
= 0, 5P
2 + 0, 5P
Bei der Nachfrageelastizität kann man erkennen, dass der Zähler stets kleiner
ist als der Nenner, somit ist die Elastizität stets positiv (da P positiv
ist) und kleiner als 1. Die Nachfrage reagiert also stets unelastisch. Bei der
Angebotselastizität erkennt man, dass hier der Zähler stets größer ist als der
Nenner, entsprechend reagiert das Angebot stets elastisch auf Preisänderungen.
Es ist insbesondere erwähnenswert, dass für beliebige Angebots- und
Nachfragefunktionen der obigen Form diese Aussagen bestehen bleiben.
Anwendungsbeispiel 3:
Wieder einmal betrachten wir den üblichen Verdächtigen, die Cobb-Douglas-
Produktionsfunktion. Berechnet man die Elastizität von Y bzgl. K so erhält
man:
EY,K = ɛY (K, L) = K βKβ−1 L 1−β
K β L 1−β
= β
Um dieses Ergebnis besser verstehen zu können greifen noch einmal kurz auf
die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion zurück und logarithmieren diese:
lnY (K, L) = βlnK + (1 − β)lnL
Nach lnK abgeleitet ergibt dies gerade β. Dies heißt aber, dass:
dlnY
(K, L) = β
dlnK
Dies kann man aber in Anlehnung an das entsprechende Kapitel auch als
Wachstumsrate auffassen. Allgemeiner gilt sogar, dass die Wachstumsrate
der Funktion f bzgl. x sich bestimmen lässt als:
dln(f(x)) dln(f(x)) dx dln(f(x)) dx
= =
dln(x) dln(x) dx dx dlnx =
f ′ −1 (x) dlnx
=
f(x) dx
f ′ −1 (x) 1
=
f(x) x
f ′ (x)
x = ɛf(x)
f(x)
Während in Kapitel 1.3 diskrete Wachstumsraten betrachtet wurden erkennt
man an diesem Beispiel, dass die Elastizität das stetige Pendant dazu ist.
30