Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

3.2 Determinanten
Genauso wie die Matrixmultiplikation im letzten Kapitel, haben auch Determinanten
keine direkte Anwendungsmöglichkeit in der Wirtschaftswissenschaft.
Determinanten können allerdings als Hilfsmittel oder Indikatoren in
verschiedenen Bereichen zur Anwendung kommen.
Bevor man allerdings die Anwendungsmöglichkeiten von Determinanten besprechen
kann, ist zuerst zu klären, wie eine Determinante überhaupt berechnet
wird. Wir benutzen hier der Vereinfachung wegen nicht die mathematische
Schreibweise, sondern beschreiben die tatsächliche praktische Anwendung.
Man beginnt mit dem einfachen Fall einer Matrix mit 2 Zeilen und
2 Spalten.
Beispiel:
4 3
det
7 6
a b
det
c d
= ad − bc
= 4 ∗ 6 − 3 ∗ 7 = 24 − 21 = 3
Anstatt nun für jede mögliche Größe von Matrizen eine Formel aufzustellen,
soll geklärt werden, wie man größere Matrizen so umformen kann, dass am
Ende immer nur 2x2-Matrizen zu berechnen sind. Hierbei kann man ein einfaches
Verfahren nutzen, um die Determinante einer nxn-Matrix als mehrere
Determinanten von (n-1)x(n-1)-Matrizen zu schreiben. Dieses Verfahren soll
hier angegeben werden:
1. Wähle eine Spalte oder Zeile aus, in der möglichst viele Nullen stehen.
Bei der Matrix:
⎛
0 0
⎞
−2
A = ⎝ 2 −6 3 ⎠
8 3 1
wäre dies zum Beispiel die erste Zeile, da diese zwei Nullen enthält.
2. Als nächstes addiert man alle Elemente der gewählten Zeile oder Spalte
auf.
In unserem Beispiel wäre das: 0+0+(-2)
Die Elemente müssen vor dem zusammenrechnen allerdings noch jeweils
mit einem Vorzeichen multipliziert werden, dass sich aus dem
folgendem Schema entnehmen lässt:
+1 −1 +1
−1 +1 −1
+1 −1 +1
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