Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

2.2.1 Ableitungen
In diesem Abschnitt soll ein Überblick über die verschiedenen Grundtypen
von Funktion gegeben werden und wie ihre Ableitung lautet. Um komplizierte
Ausdrücke behandeln zu können, müssen diese mit Hilfe der weiter unten
angegebenen Ableitungsregeln in die Grundtypen zerlegt werden, so dass die
hierfür geltenden Ableitungen verwendet werden können.
Bevor auf die eigentlichen Ableitungsregeln eingegangen wird, ist zuvor noch
eine Erklärung der verschiedenen Schreibweisen von Nöten. Berechnet man
die Ableitung einer Funktion f, die abhängig ist von den Variablen x und y,
nach der Variablen x, so kann man dies auf verschiedene Arten schreiben.
fx(x, y) =
df(x, y)
dx
= ∂f(x, y)
∂x
Wäre x die einzige Variable, so würde man statt fx(x) auch f ′ (x) schreiben.
Unter Berücksichtigung dieser Hintergrundinformationen kann man sich die
ersten Ableitungen anschauen. Im Folgenden beschränken wir uns auf die
nachstehenden Standardfunktionen:
f (x) = ax n ⇒ f ′ (x) = anx n−1 , n = 0
f (x) = a ⇒ f ′ (x) = 0
f (x) = exp (x) ⇒ f ′ (x) = exp (x)
f (x) = ln (x) ⇒ f ′ (x) = 1
x
f (x) = sin (x) ⇒ f ′ (x) = cos (x)
f (x) = cos (x) ⇒ f ′ (x) = −sin (x)
Da diese Funktionen in ihrer reinen Form wenig direkte wirtschaftswissenschaftliche
Relevanz besitzen, wollen wir uns als Nächstes damit auseinander
setzen, auf welche Arten solche Funktionen kombiniert werden können und
wie es dann mit Ableitungen aussieht.
Insbesondere gelten für zusammengesetzte Funktionen die folgenden Regeln:
Linearität : f (x) = g (x) + h (x) ⇒ f ′ (x) = g ′ (x) + h ′ (x)
Linearität : f (x) = ag (x) ⇒ f ′ (x) = ag ′ (x)
P roduktregel : f (x) = g (x) ∗ h (x) ⇒ f ′ (x) = g ′ (x) ∗ h (x) + g (x) ∗ h ′ (x)
g (x)
h (x) ⇒ f ′ (x) = g′ (x) ∗ h (x) − g (x) ∗ h ′ (x)
h (x) 2
Kettenregel : f (x) = g (h (x)) ⇒ f ′ (x) = h ′ (x) ∗ g ′ (h (x))
Quotientenregel : f (x) =
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