Mathematische Grundlagen und Anwendungen in der VWL

Um aus diesem Ergebnis die Lösung des ursprünglichen Problems X(t) zu
bestimmen, macht man die oben angewendete Transformation V = X 1−β
wieder rückgängig:
X(t) 1−β = C0e ′−a(1−β)t + b
X(t) =
a ⇒
C0e ′−a(1−β)t + b
a
1
1−β
Betrachtet man zu dieser Lösung die Startbedingung X(0) = X0, so kann
die Konstante C0 wie folgt bestimmt werden:
X0 = C0 + b
a
X 1−β
0 = C0 + b
a
C0 = X 1−β
0
− b
a
Beispiel (konstante Koeffizienten):
Zuerst wollen wir den einfachen Fall einer linearen Differentialgleichung mit
konstanten Koeffizienten betrachten.
dX
dt
= 3 − X, mit X(0) = 1
Diese Differentialgleichung hat die allgemeine Lösung:
X(t) = C0e ′−t + 3
Beachtet man weiterhin die gegebene Anfangsbedingung X(0) = 1, so lässt
sich der Parameter C0 wie folgt bestimmen:
X(0) = C0e ′−0 + 3 = 1
C0 + 3 = 1
C0 = −2
Hiermit ergibt sich die Lösung des speziellen Anfangswertproblems als:
X(t) = −2e ′−t + 3
Beispiel (nicht-konstante Koeffizienten):
dX
dt
= 2t − tX, mit X(0) = 1
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