Festkoerper

WS 2012/13, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff
Vorlesung: Festkoerperphysik, inoffizielle Mitschrift
by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 “FREIE“ ELEKTRONEN IM FESTKÖRPER
3.1.1 Grundzustand
• N nicht-wechselwirkende Elektronen
• in einem Volumen V=L
• mit unendlich hohen Potentialwänden
• bei T=0
keine WW → Löse QM-Problem für 1 Elektron mit Spin σ
HΨ(r, σ) = − 2
∆Ψ(r, σ) = EΨ(r, σ)
2m
Lösung: Ebene Wellen Ψ k (r) = 1
√ V e i kr mit | k| = 2π
λ
Normierungsbedingung:
Damit: E( k) = 2 k 2
V
2m , p = k
|Ψ k (r)| 2 dr = 1
Randbedingungen: Lx, Ly, Lz ⇒ 4 stehende Wellen ⇒ Nur bestimmte Wellenvektoren zulässig:
kx = 2π
nx , ky = 2π
ny , kz = 2π
nz mit nx,y,z = 0, ±1, ±2, . . .
Lx
Ly
Elektronenzustand → charkterisiert durch nx, ny, nz, τ
En = 2
(2π) 2
2m L2 x
n 2 x + (2π)2
L 2 y
Lz
n 2 y + (2π)2
L2 n
z
2
z
Zu jedem Wellenvektor k 2 Zustände mit unterschiedlicher Spinrichtung
Zustandsdichte im k-Raum Z( k)
Erlaubte Zustände im k-Raum → in jeder Richtung äquidistant, Aufteilung des k-Raums in gleiche
Teile mit genau 1 Zustand
1D: 2π
Lx
= 2π
L
2D: 2π
·
Lx
2π
Ly
= (2π)2
A
3D: 2π
·
Lx
2π
·
Ly
2π
Lz
= (2π)3
V
Zustandsdichte in 3D: Z( k) = V
· 2 mit σ = 2 = Anzahl der Elektronen pro Aufenthaltsraum
(2π) 3
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