Festkoerper

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WS 2012/13, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: <strong>Festkoerper</strong>physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 4 ENERGIEBÄNDER Damit: Ey = −ωcτEx = − eBτ m Ex = −µBEx ⇒ Aufbau eines elektrischen Feldes in y-Richtung: “Hall-Effekt“ Grund: FL bewirkt Ablenkung in y-Richtung → Ansammlung/Abwanderung an beiden Seiten → Prozess so lange, bis Kompensation eintritt. Jx = σ0Ex Ey = − eBτ m Ex = − eBτ m · Jx σ0 = − eτ BJx mσ0 Ey = − eτm mne 2 τ BJx = − 1 ne BJx mit − 1 ne = RH: “Hall-Konstante“ spez. Hall-Widerstand: ρxy = Ey Jx = RHB Hall-Spannung: UH = bEy = bRHBJx = bRHB · I 1 = bd d RHBI ⇒ Bestimmung von RH! 4 Energiebänder Weiterhin Elektronen wechselwirken nicht untereinander → Lösen der Schrödingergleichung für 1 Elektron → N-Elektronenzustand durch Auffüllen der 1-Elektronen-Zustände mit Pauli-Prinzip Aber jetzt Elektronen “spüren“ periodisches Kristallpotential V (r) der positiven Ionenrümpfe “Bloch-Elektron“ Unterschiedliche Näherungen Quasifreie Elektronen Modell des freien Elektronengases mit Kristallpotential als kleiner Störung → Metalle mit stark delokalisierten Elektronen Quasigebundene Elektronen lokalisierte Elektronen in Atomorbial → LCAO-Methode • Energiebänder in FK • getrennt durch verbotene Bereiche, sog. Energielücken 4.1 Bloch-Elektron Periodisches Kristallpotential → Elektronenwellen mit gitterperiodischer Modulation “Bloch-Wellen“ Keine Streuung bei perfekter Periodizität, SG für 1 Elektron: HΨ(r) = − 2 ∆ + V (r) Ψ(r) = EΨ(r) 2m Seite 40
WS 2012/13, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: <strong>Festkoerper</strong>physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 4 ENERGIEBÄNDER mit V (r) = V (r + R), R = n1a1 + n2a2 + n3a3 V (r): gleiche Periodizität wie Raumgitter V (r) = G V G e i Gr mit G = h b1 + k b2 + l b3 rez. Gitter Lösungsansatz: Ψ(r) = 2k2 ⇒ 2m k − E C + k SG im reziproken Raum G G e i kr mit kx = 2π V G C k− G = 0 Lx nx . . . Entwicklungskoeffizienten von Ψ(r) nur C k , C k− G , C k+ G , . . . d.h. nur diejenigen, deren k-Werte sich um einen reziproken Gittervektor unterscheiden. ⇒ N unabhängige Gleichungssysteme Lösung jedes Gleichungssystems: Superposition von ebenen Wellen, die sich um einen reziproken Gittervektor unterscheiden. • Indizierung der Energieeigenwerte durch k : E( k) = E k • Zu jedem k gibt es unendlich viele Lösungen mit E( k) = E( k + Gn) → zusätzliche Zahlen zur Klassifizierung → Bandindex n nach Größe: E1( k) ≤ E2( k) ≤ . . . Betrachtung im Ortsraum 1 von N Lösungen: Ψ k (r) = u k (r)e i kr u k (r): Fourierreihe über reziproke Gittervektoren → besitzt Periodizität des Gitters Lösung der 1-Elektron-SG für periodisches Potential Ψ k = u k (r)e i kr mit u k (r) = u k (r + R) “Bloch-Theorem“ → Bandstruktur Für jeden k-Wert: Satz von Energieeigenwerten En( k) Allgemeine Eigenschaften von En( k) HΨk(r) = En(k)Ψk(r) HΨk+G(r) = En(k + G)Ψk+G(r) Welle Elektronen Seite 41
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