Festkoerper

WS 2012/13, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff
Vorlesung: Festkoerperphysik, inoffizielle Mitschrift
by: Christian Krause, Matr. 1956616 1 KRISTALLE
3. Suche (kleinste) ganze Zahlen mit gleichem Verhältnis wie Kehrwerte: 2 6 3
4. In Klammern: Millersche Indizes ( 2 6 3 )
5. Bei negativen Zahlen: statt Minuszeichen Strich über die Zahl z.B. (2 6 3)
6. Wenn kein Schnittpunkt, d.h. mi = 0 ⇒ 1/m = ∞, dann Millerindex = 0
1.1.3 Das reziproke Gitter
Warum Millersche Indizes? FKP: oft Studium von ebenen “Wellen“ in periodischen Potentialen,
Beschreibung ebene Welle durch Wellenvektor k ⇒ reziprokes Gitter immens wichtig!
Startpunkt: Bravaisgitter R = n1a1 + n2a2 + n3a3
Ebene Wellen: Ψ k (r) = Ψ0e i kr
I.a. Periodizität ebene Welle = Periodizität Bravaisgitter
Def: Alle diejenigen Wellenvektoren k, die ebene Wellen ergeben mit der Periodizität des
Bravaisgitters, bilden das zum Bravaisgitter reziproke Gitter
Ebene Welle mit Periodizität des Bravaisgitters
Ψ k (r) = Ψ k (r + R) ⇒ Ψ0e i kr = Ψ0e i k(r+ R) = Ψ0e i kr e i k R
Also: e i kr = 1 für alle R
Daher äquivalente Def:
Sei R = n1a1 + n2a2 + n3a3 ein Bravaisgitter.
Das hierzu reziproke Gitter besteht aus allen Vektoren G, für die gilt: e i G R = 1
Vektoren des reziproken Gitters G = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 mit h, k, l ∈ Z
Wegen e i G R = 1 = cos( G R) + i · sin( G R) ⇒ G · R = 2πn mit n ∈ Z
Eigenschaften des reziproken Gitters
• Koeffizienten sind ganzzahlig
• Reziprokes Gitter eines Bravaisgitters ist wieder ein Bravaisgitter
• Das reziproke Gitter eines reziprokten Gitters ist das ursprüngliche Gitter
• Länge der reziproken Gittervektoren ∝ Kehrwert der Länge der Gittervektoren (daher der
Name “reziprokes Gitter“)
• Koeffizienten h,k,l sind die Millerschen Indizes [!]
Bedingung wird erfüllt durch:
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