Festkoerper

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WS 2012/13, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: <strong>Festkoerper</strong>physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 4 ENERGIEBÄNDER Wegen: Ψk+G = Ψk → HΨk(r) = E(k + G)Ψk(r) ⇒ E(k) = E(k + G) • E( k) periodische Funktion bzgl. k • En( k) ist beschränkt (n fest) → endliche Bandbreite (daher: n= Bandindex) • Bei Inversionssymmetrie, d.h. V (r) = V (−r) → E( k) = E(− k) ⇒ ∂E( k) ∂ k k→0 = 0 wenn ∂E( k) ∂ k → Minimum oder Maximum stetig diffbar ist Periodisches Gitterpotential ⇒ Energiebänder Reduziertes Zonenschema Betrachtung “freie“ Elektronen mit V → 0 Folge: für Elektronenzustände nicht nur 1 Parabel, auch Parabeln um G verschoben sind erlaubt E( k) = 2k 2 2m = E(k + G) = 2 (k + G) 2 2m In 1D: G = G = 2π a · m mit m ∈ Z E( k) periodisch in k-Raum → Darstellung in der 1. BZ ausreichend! → bei geeigneter Verschiebung der Parabel ⇒ reduziertes Zonenschema Anmerkung • Elektronenwellen: – keine Beschränkung auf 1 BZ – dennoch zweckmäßig • Gitterschwingungen – Wellenvektoren außerhalb der 1. BZ physikalisch nicht sinnvoll Damit Dispersion: E( k ′ ) = 2 2m (k + G) 2 = 2 kx + h 2m 2π 2 + ky + k a 2π 2 + kz + l a 2π 2 wobei a k ′ in der 1. BZ Berechnung in [100]-Richtung, d.h. E(kx, 0, 0) Verschiedene Darstellungen der Dispersion in • ausgedehntem • reduziertem • periodischem Seite 42
WS 2012/13, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Mathias Getzlaff Vorlesung: <strong>Festkoerper</strong>physik, inoffizielle Mitschrift by: Christian Krause, Matr. 1956616 4 ENERGIEBÄNDER Zonenschema 4.2 “Fast freie“ Elektronen Jetzt: Schwaches periodisches Potential V > 2 k 2 2m • starke Bindung am jeweiligen Atom • nur geringe Beeinflussung durch andere Atome im Kristall → tiefliegende Elektronen in Rumpfniveaus Daher: Statt ebene Welle Seite 43
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