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3 Grundlagen
oder auch das z-Mittel ∑
M z = ∑ in iMi
3
i n . (3.5.3)
iMi
2
Aus den beiden Gleichungen (3.5.1) und (3.5.2) lässt sich der Polydispersitätsindex
PDI = M w /M n berechnen. Prinzipiell können immer höhere Moment zur Mittelwertberechnung
herangezogen werden. Diese betonen immer mehr die Ausläufer
bei hohen Massen. Die Bestimmung der Molmassenverteilung erfolgt häufig über
Chromatographieverfahren oder Lichtstreuung. Welche Gewichtsfaktoren verwendet
werden, hängt davon ab, welche Größe experimentell adressiert wird.
Ein Polymer kann man sich entsprechend der obigen Bemerkungen als Kette von
Monomeren vorstellen. Unter der Vorstellung von N+1 identischen Monomeren A i ,
die durchN Bondvektoren r i miteinander verbunden sind, können charakteristische
Größen berechnet werden. Der End-zu-End-Vektor ist die Summe über alle r i :
R =
N∑
r i . (3.5.4)
i=1
Definiert man s i als den Ortsvektor des i-ten Monomers im Schwerpunktsystem,
so lässt sich der quadratische Trägheitsradius (auch Gyrationsradius genannt)
R 2 g = 1
N +1
∑
s 2 i (3.5.5)
berechnen, der ein Maß für den mittleren Abstand der Massezentren vom Schwerpunkt
ist. Damit ist der Gyrationsradius analog zum Trägheitsmoment in der Mechanik.
Für alle idealen Ketten ist der gemittelte quadratische Trägheitsradius
durch
〈R 2 g 〉 = 1 6 〈R2 〉 (3.5.6)
gegeben.
Für Polymerlösungen unterscheidet man verschiedene Konzentrationsbereiche:
c → 0, c < c ∗ und c > c ∗ mit der Überlappkonzentration c ∗ . Zur Veranschaulichung
sei auf Abbildung 3.9 verwiesen. 3 Im Grenzfall c → 0 kann sich eine einzelne
Polymerkette frei im Lösungsmittel bewegen. Die lokale Polymerkonzentration c(r)
schwankt stark um den Mittelwert (links unten in Abbildung 3.9). Wird mehr Polymer
hinzugegeben, so fangen bei der Überlappkonzentration die Polymerketten an,
sich gegenseitig zu berühren und der Bereich der halb-verdünnten Lösung beginnt.
Das Konzentrationsfeld c(r) glättet sich und zeigt weniger starke lokale Variationen.
Erhöht man die Konzentration weiter, so müssen sich die Ketten durchdringen und
bilden sogenannte Verschlaufungen. Ein Abschätzung der Überlappkonzentration
3 Je nach Quelle findet man häufig statt der Massenbrüche c Volumenanteile φ, die aber eine
analoge Nomenklatur haben.
i
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