Fachhochschule Furtwangen, Prof. Dr.-Ing. M. J. Hamouda 000000 ...

4) Das elektrische Verhalten der linearen Schaltungselemente kann durch die
Strom-Spannungsabhängigkeit im Zeitbereich angegeben werden.
Beschreibung im Zeitbereich
ohmscher Widerstand R u(t) = R∗i(t) (2.1a)
Kapazität C i(t) = C∗ du(t)
dt
Induktivität L u(t) = L∗ di(t)
dt
(2.1b)
(2.1c)
Bei der Analyse linearer Schaltungen führen die Beziehungen (2.1) zu linearen
Differentialgleichungen, die z. B. mit Hilfe der Laplace-Transformation
gelöst werden können.
Bei der Bestimmung des Frequenzverhaltens linearer Schaltungen kann die
i. a. umständliche Lösung von Differentialgleichungen durch eine einfachere
und kompaktere algebraische Rechnung mit Hilfe der komplexen Zahlen
ersetzt werden. Grundlage hierfür bildet die Euler’sche Identität, die
den Zusammenhang zwischen der Sinus- bzw. Cosinusfunktion einerseits
und der Exponentialfunktion mit komplexem Argument andererseits beschreibt.
e j(ωt+φ) = cos(ωt + φ) + j sin(ωt + φ) [2.2]
5) Jede Sinus- bzw. Cosinusfunktion kann als Imaginär- bzw. Realteil eines
Zeigers in der komplexen Ebene dargestellt werden.
Zeitfunktion Zeiger Zusammenhang
u(t) = sin(ωt + φ) ú = û e j(ωt+φ) u(t) = Im(ú) (2.3a)
u(t) = cos(ωt + φ) ú = û e j(ωt+φ) u(t) = Re(ú) (2.3b)
Die Zuordnung zwischen einer Zeitfunktion u(t) und ihrem Zeiger ú stellt
eine lineare Operation dar. Daher können alle linearen Funktionen in u(t)
auch auf den Zeiger ú übertragen werden. Es gilt im einzelnen:
Zeitfunktion Zeiger Bemerkungen
u(t) = û sin(ωt + φ) ú = û ej(ωt+φ) u(t) = Im(ú) (2.4a)
a(t) = â sin(ωt + θ) á = â ej(ωt+θ) a(t) = Im(á) (2.4b)
α∗ u(t) α ∗ ú α ∈ R (2.4c)
Addition: u(t) + a(t) ú + á u(t) + a(t) = Im(ú + á) (2.4d)
Differentiation du/dt
Integration
dú/dt = jω.ú du/dt= Im(jω.ú) (2.4e)
� u.dt
� �
ú.dt = ú/(jω) u.dt = Im(ú/(jω)) (2.4f)
Da die Multiplikation im Zeitbereich keine lineare Operation darstellt, kann
FHF-Hamouda, Analogelektronik, Seite V-41