Numerische Untersuchung einer Düsenströmung mit Schiebewinkel

Grundgleichungen 8
2.2 Grenzschichtgleichungen für quasi-zweidimensionale Strömung
Die Ausgangsgleichungen für die Berechnung der Anfangsbedingung, die aus zwei Grenzschichten mit
unterschiedlichen Freistromgeschwindigkeit oberhalb und unterhalb einer unendlichen schiebenden
ebenen Platte ohne Druckgradient und der dahinter entwickelten freie Scherschicht, sind die soge-
nannten prandtlschen Grenzschichtgleichungen für kompressible quasi-zweidimensionale Strömungen.
Es erscheint sinnvoll, die im vorherigen Abschnitt angegebenen Grundgleichungen angepaßt an das zu
behandelnde Stömungsproblem soweit wie möglich zu vereinfachen. Eine Möglichkeit dazu stellt das
von Prandtl eingeführte Grenzschicht Konzept dar, bei dem sich der Einfluß der Zähigkeit auf eine
dünne Schicht nahe einer festen Wand beschränken soll. In dieser Grenzschicht geht die Strömugsge-
schwindigkeit zur Wand hin auf den Wert Null zurück (Haftbedingungen). Damit ist der Gradient der
Geschwindigkeit im allgemeinen normal zur Wand groß gegenüber dem Gradient der Geschwindigkeit
parallel zur Oberfläche. Dies bedeutet, daß selbst bei sehr kleiner Zähigkeit die Reibungsschubspan-
nung große Werte annehmen kann. Eine ausfürlicche Beschreibung des Grenzschichtkonzepts ist in
[18] gegeben.
Die zu den Grenzschichtgleichungen führenden Vereinfachungen sind nur für Strömungen mit hoher
Reynoldszahl gerechtfertigt. Die Reynoldszahl für einen ungestörten Anströmzustand ist definiert
als:
Re0 = ρ0U0L
µ0
wobei L eine für das zu untersuchende Strömungsproblem charakteristische Länge ist und
U0 =
die resultierende Anströmgeschwindigkeit ist.
�
u 2 0 + v2 0 + w2 0
(2.22)
(2.23)
Die Grenzschicht einer dreidimensionalen Strömung wird als quasi-zweidimensional bezeichnet, wenn
die Grenzschichtgleichungen bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems nur noch zwei unabhängige
Variable enthalten. Dies ist der Fall einer Platte unendlicher Spannweite. Hier entfällt bei wirbelfreier
Strömung außerhalb der Grenzschicht die Abhängigkeit von der Koordinate z und dementsprechend
fallen alle Terme mit z-Abhängigkeit von den dreidimensionalen Grenzschichtgleichungen, die in [5]
gegeben wurden, weg.
Damit haben die kompressible Grenzschichtgleichungen für die schiebende Platte unendlicher
Spannweite ohne Druckgradient folgende Form [5]:
Kontinuitätsgleichung
∂(ρu)
∂x
+ ∂(ρv)
∂y
= 0 (2.24)