Photovoltaik Physik und Technologie der Solarzellen - IPHT Jena

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4.4 Elektronen und Löcher - 33 - Ist ein Band nur schwach mit Elektronen besetzt, so halten sie sich in der Umgebung des Minimums bei k=k min auf. Ihre Energie hängt dort näherungsweise quadratisch von k ab: (4.6) E c gibt die Energie der Leitungsbandkante an, m n ist die effektive Masse der Elektronen (Index n). Im isotropen Fall gilt einfach (4.7) Bis auf die Ersetzung der Masse eines freien Elektrons durch die effektive Masse ist das im Fall, dass das Bandminimum bei k=0 liegt, dieselbe Beziehung wie für freie Elektronen. Die Zustandsdichte in der Nähe der Bandkante beträgt im isotropen Fall (4.8) Im anisotropen Fall bleibt die Beziehung erhalten, wenn man anstelle der isotropen effektiven Masse m n einen geeigneten Mittelwert der Eigenwerte des Tensors der effektiven Masse einsetzt, der effektive Zustandsdichte-Masse heißt. Im entgegengesetzten Grenzfall eines fast gefüllten Bandes sind nur wenige Zustände am oberen Ende des Bandes unbesetzt. Die unbesetzten Zustände nennt man Defektelektronen oder Löcher. Statt die Bewegung der vielen Elektronen zu betrachten, ist es bequemer, zu verfolgen, wie sich die Löcher bewegen, nämlich genau umgekehrt wie die angrenzenden Elektronen. In einem vollständig gefüllten Band verschwindet der Stromfluss auch bei angelegtem Feld. Im nicht ganz gefüllten Band ist er um den Beitrag der fehlenden Elektronen vermindert und hat den Wert i = 0-(-ev p) = ev p. Die Löcher besitzen die Eigenschaft eines positiv geladenen Teilchens im gefüllten Band. Fehlt das Elektron mit Wellenvektor k n, so wirkt das so, dass ein Loch mit Wellenvektor k p=-k n vorhanden ist. Damit die Bewegungsgleichung für das Loch korrekt aus der der Elektronen folgt, muss man für seine effektive Masse setzen m p=-m n. Da in der Nähe der oberen Bandkante die effektive Masse der Elektronen negativ ist, ist die der Löcher positiv. Die Dispersionsrelation für Löcher lautet im isotropen Fall E v ist die Energie der Valenzbandkante. (4.9) Da die Zahl der möglichen Löcher gleich der Maximalzahl der Elektronen ist, ist ihre Zustandsdichte ebenfalls gleich und man erhält im isotropen Fall (4.10) 4 Halbleiter I: Gleichgewicht F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11
- 34 - Bei amorphem Silicium gibt es infolge der Unordnung keine scharfe Bandlücke. Die Zustandsdichte nimmt aber doch in einem Gebiet, das bei kristallinem Silicium der Bandlücke entspricht, stark ab (Abb. 4.8). Die Zustände in den Bändern sind wie die im kristallinen Material delokalisiert und die Elektronen und Löcher sind dort beweglich. Innerhalb der Lücke sind die Zustände lokalisiert und die Elektronen sind unbeweglich. Man spricht daher in amorphen Halbleitern lieber von den Beweglichkeitskanten als von Bandkanten. Die Zustandsdichte in der Lücke in der Nähe der Kanten kann in amorphen Materialien oft exponentiell dargestellt werden als (4.11) wo E K die Kantenenergie ist. Die Urbach-Energie E U ist ein Maß für die Unordnung und liegt beim amorphen Silicium im Bereich einiger 10 meV bis etwas über 100 meV. Abb. 4.8: Zustandsdichte von kristallinem (links) und amorphem (rechts) Silicium 4 Halbleiter I: Gleichgewicht F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11
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