Photovoltaik Physik und Technologie der Solarzellen - IPHT Jena

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Setzt man k (Gl. 4.33) zusammen mit den Gleichungen für n und p im Gleichgewicht (Gl. 4.35)
in die Poisson-Gleichung für M (4.34) ein, so ergibt sich eine nichtlineare partielle Differentialgleichung.
Die Fermienergie ist aus der globalen Ladungserhaltung zu bestimmen. Insgesamt
liegt eine nur schwer lösbare Aufgabe vor, die in Spezialfällen in Abschnitt 4.9 behandelt wird.
Im Gleichgewicht mit räumlich konstanter Fermienergie treten keine Teilchenströme j n und j p
und auch keine elektrischen Ströme i n und i p der Elektronen und Löcher auf. Die Elektronen und
Löcher erfahren zwar Kräfte durch das elektrische Feld. Dadurch bauen sich Konzentrationsgradienten
auf, die so lange anwachsen, bis ein entgegengesetzt gerichteter diffusiver Antrieb
entsteht, der die Feldkraft gerade aufhebt. Der Strom ist proportional der Gesamtkraft, der
Summe aus beiden, und verschwindet somit im Gleichgewicht.
Man kann schreiben
(4.38)
und analog für i p. Dabei wurde die Fermi-Energie in die Anteile elektrisches Potential und
chemisches Potential zerlegt, die Abhängigkeit des chemischen Potentials von der Elektronendichte
(Umkehrung von 4.35) eingesetzt und die Einstein-Relation
(4.39)
berücksichtigt. Die Summanden in Gl. 4.38 repräsentieren die Kräfte, die das elektrische Feld
und der Konzentrationsgradient ausüben. In der Literatur werden die Summanden etwas
unglücklich als „Feldstrom“ und „Diffusionsstrom“ bezeichnet. Zwar lassen sich sinnvoll
Kräfte addieren, für den Strom hat die Aufteilung aber wenig Sinn.
4.9 Inhomogenitäten im Gleichgewicht
In diesem Abschnitt werden konkrete Inhomogenitäten, nämlich die freie Oberfläche und dort
vorhandene Ladungsdichten und von außen angelegte Felder, der Kontakt des Halbleiters mit
einem Metall (Schottky-Kontakt) oder mit einem anderen Halbleiter (Heteroübergang) und
inhomogene Dotierungen in Form eines p-n-Überganges hinsichtlich der erzeugten Raumladungen
untersucht. Die Ergebnisse von Abschnitt 4.8 werden also für spezielle Fälle
konkretisiert.
4.9.1 Oberfläche und äußere Felder
Wir betrachten zunächst einen intrinsischen Halbleiter, der an der Oberfläche eine Ladung
trägt. Diese kann z.B. über der Oberfläche sitzen, wenn auf einer isolierenden Oxidschicht eine
metallische Kontaktschicht aufgebracht ist. Beim Feldeffekttransistor wird eine solche
Konfiguration angewandt.
Liegt an der Oberfläche eine Flächenladungsdichte F, so lautet die Lösung des gekoppelten
Systems von Gleichungen für die Ladungsdichten und das elektrische Potential
4 Halbleiter I: Gleichgewicht F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11