Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

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14 KAPITEL 2. GEOMETRISCHE GRUNDLAGEN DER BILDERZEUGUNG 2.1.2 Umrechnung der Koordinaten Die Umrechnung zwischen den Koordinatensystemen geschieht im Allgemeinen mit Matrizen. So gibt es für jedes System eine Matrix um Punkte aus einem anderen System zu transformieren. Die Transformation von Welt– zu Pixelkoordinaten vollzieht sich in drei Schritten. Welt → Kamera: Weltkoordinaten lassen sich mit einer Rotation R und einer Translation t (extrinsische Kameraparameter, siehe Abschnitt 2.2.1) in Kamerakoordinaten überführen. p c = D p w � � R t mit D = wobei R ∈ R 0 0 0 1 3×3 , t ∈ R 3×1 Kamera → Bild: Mitels einer Projektionsmatrix PProj lassen sich Punkte aus dem 3D Kamerakoordinatensystem auf eine 2D Bildfläche projezieren p i = PProj p c . Es gibt verschiedene Projektionsmodelle, die in Abschnitt 2.1.3 kurz erläutert werden. Bild → Pixel: Die Umwandlung von Bildkoordinaten in Pixelkoordinaten, also dem letztlichen Bild geschieht mit Hilfe der intrinsischen Kameraparameter F , dx, dy, Hx, Hy und s (siehe Abschnitt 2.2.2). p p = K p i mit ⎛ K = ⎝ Kx 0 s Ky ⎞ Hx Hx⎠ wobei Kx = F/dx, Ky = F/dy 0 0 1 Totale Projektion: Direkte Umwandlung eines Weltpunktes in Pixelkoordinaten wird als totale Projektion bezeichnet, wobei die oben genannten Matrizen der von rechts nach links aufmultipliziert werden. 2.1.3 Projektionsmodelle p p = PTotal p w mit PTotal = K PProj D Hauptsächlich werden in der <strong>Bildverarbeitung</strong> drei Arten von Projektionen unterschieden: die orthographische, die perspektivische und die schwach perspektivische oder skaliert orthographische Projektion, die eine Mischung aus den beiden ersten Modellen ist (siehe dazu [21] und [20]). Abbildung 2.2 verdeutlicht grob den Unterschied zwischen der perspektivischen und der orthographischen Projektion. Orthographische Projektion (a) Orthographische Projektion (b) Perspektivische Projektion Abbildung 2.2: Unterschied zwischen orthographischer und perspektivischer Projektion Im Kamerakoordinatensystem beschreibt die Z-Achse die Entfernung zum optischen Zentrum der Kamera. Die orthographische Projektion bildet Punkte senkrecht auf die Bildebene ab, indem sie die Z-Koordinate der Punkte ignoriert (siehe Abb. 2.2a). Die Projektionsmatrix ist damit die Folgende: ⎛ ⎛ ⎞ xc ⎞ ⎛ ⎞ yi⎠ = POrtho 1 ⎝ xi ⎜ ⎜y ⎝ c zc ⎟ 1 0 0 0 ⎟ ⎠ mit POrtho = ⎝0 1 0 0⎠ 0 0 0 1 1
2.2. KAMERAPARAMETER 15 Perspektivische Projektion Perspektivische Projektion ist die häufigste Projektionsart (siehe Abb. 2.2b). Hier wird ein Punkt abhängig von seiner Z-Koordinate und der Brennweite F der Kamera, wie nachstehend gezeigt auf die Bildfläche projiziert. ⎛ ⎝ xi ⎞ yi⎠ = 1 ⎛ ⎝ F zc xc F z c y c 1 Schwach perspektivische Projektion ⎞ ⎛ ⎠ = ⎝ Fxc Fy c zc ⎛ ⎞ x ⎜ ⎠ = PPersp ⎜ ⎝ c yc zc ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ F 0 0 0 ⎟ ⎠ mit PPersp = ⎝0 F 0 0⎠ 0 0 1 0 1 Bei der schwach perspektivischen Projektion wird ein Punkt zunächst orthographisch auf eine Bildebene projiziert. Das Abbild wird danach perspektivisch auf eine zweite Bildebene projiziert. Insgesamt entspricht dies einer orthographischen Projektion mit einem Skalierungsfaktor k, wobei k < 1 gilt. ⎛ ⎝ xi ⎞ yi⎠ = 1 ⎛ ⎝ F k xc F k yc 1 2.2 Kameraparameter ⎞ ⎛ ⎠ = ⎝ Fxc Fy c kc ⎛ ⎞ x ⎜ ⎠ = PWeak ⎜ ⎝ c yc zc ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ F 0 0 0 ⎟ ⎠ mit PWeak = ⎝0 F 0 0⎠ 0 0 0 k 1 Als Kameraparameter werden diejenigen Parameter bezeichnet, die man benötigt um die Abbildung eines Punktes in Weltkoordinaten nach Pixelkoordinaten nachvollziehen zu können. Man unterscheidet intrinsische und extrinsische Parameter, je nachdem ob sie sich bei Bewegung der Kamera ändern. Die meisten Parameter sind unbekannt und müssen durch Kalibrierung (siehe Abschnitt 2.2.3) ermittelt werden. Andere, wie die Höhe und Breite der Pixel müssen aus der Kamerabeschreibung entnommen werden. 2.2.1 Extrinsische Parameter Die extrinsischen Parameter beschreiben die Position im Raum und die räumliche Orientierung, also die Blickrichtung der Kamera. Diese Parameter ändern sich sobald die Kamera bewegt wird. Insgesamt gibt es 6 extrinsiche Parameter, 3 für die Position und 3 für die Orientierung, die wie folgt zustande kommen: Position: Die Position wird durch einen Translationsvektor t = (x w , y w , z w ) ⊤ in Weltkoordinaten repräsentiert. Orientierung: Ausrichtung der Kamera wird als 3×3 Rotationsmatrix R = RxRyRz um die Raumachsen dargestellt 1 . 2.2.2 Intrinsische Parameter Die intrinsischen Parameter ändern sich nicht, wenn die Kamera bewegt wird. Sie enthalten die technischen Daten die beim Mapping von Kamera- nach Pixelkoordinaten gebraucht werden. Brennweite: Die Brennweite der Kamera wird als F bezeichnet Hauptpunkt: Ursprung des Bildkoordinatensystemes 2 H = (Hx, Hy) ⊤ Radiale Verzerrung: Die radiale Verzerrung wird durch die Parameter κ1 und κ2 beschrieben (siehe Abschnitt 3.2). Pixelgröße: Länge und Breite dx, dy eines Pixelelementes auf dem CCD Chip. Skew: Winkel s zwischen den Bildachsen. Bildachsen sind nicht immer orthogonal. 1 Diese Form der Darstellung wird als Euler-Winkel Repräsentation bezeichnet (siehe Anhang A.3.1). 2 Der Hauptpunkt ist durch den Schnittpunkt der optischen Achse mit der Bildebene gegeben.
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