Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

40 KAPITEL 5. BILDREGISTRIERUNG UND FUSION
Durch Einsetzen von k ′ = h31x + h32y + h33 ergeben sich für eine Punktkorrespondenz folgende Gleichungen:
h11x + h12y + h13 − x ′ (h31x + h32y + h33) = h11x + h12y + h13 − h31x ′ x + h32x ′ y + h33x ′ = 0
h21x + h22y + h23 − y ′ (h31x + h32y + h33) = h21x + h22y + h23 − h31y ′ x + h32y ′ y + h33y ′ = 0
Nullraumproblem
Dies lässt sich durch Umformung als einfache Matrixmultiplikation zwischen einer Punktematrix und der, zu einem
Spaltenvektor umgeformten Homographiematrix darstellen.
⎛ ⎞
h11
�
′ ′ ′
x y 1 0 0 0 −x x −x y −x
0 0 0 x y 1 −y ′ x −y ′ y −y ′
� ⎜h12⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ = 0
⎝ . ⎠
Die Lösung eines Gleichungssystemes der Art Ah = 0 wird über den Nullraum 4 von A, also h = null(A) berechnet.
Dabei hat A bei n Punktepaaren die Dimension 2n × 9. Um das Gleichungsystem zu lösen muss A zusätzlich den
Rang 8 haben, d.h. die Matrix muss aus 8 linear unabhängigen Vektoren bestehen. Um das zu gewährleisten dürfen die
gewählten Punkte nicht kolinear sein.
5.4.3 Mapping
Das Transformieren von Bildpunkten mittels einer Homographiematrix wird als Mapping bezeichnet. Dabei wird einem
Bildpunkt aus einem Bild f ′ im Bild f eine neue Position zugewiesen. Es gibt verschiedene Vorgehensweisen beim
Mapping (siehe Abbildung 5.6), die im Folgenden vorgestellt werden.
Forward mapping
Beim Forward mapping wird in einer Schleife über alle Pixel p ′ des Ursprungbildes f ′ gegangen und der Farbwert an
der transformierten Stelle im neuen Bild f gespeichert, wie nachstehende Formel verdeutlicht.
∀p ′ ∈ f ′ : f(H −1 p ′ ) = f ′ (p ′ )
Da der transformierte Punkt keine ganzzaligen Werte aufweist und somit selten im Pixelraster liegt, muss er gerundet
werden, was aber zu Artefakten führt, da nicht jeder Pixel aus f bearbeitet wird. Die entstehenden Artefakte sind in
Abbildung 5.6a gezeigt. Eine bessere Alternative ist das Backward mapping.
Backward mapping
Um Artefakte zu vermeiden, geht man beim Backward mapping umgekehrt vor. In einer Schleife über alle Pixel p aus
dem neuen Bild f, wird der zugehörige Wert aus f ′ ermittelt. Obwohl der transformierte Punkt hier auch gerundet
werden muss, entstehen diese Artefakte nicht, da in f ′ alle notwendigen Informationen vorhanden sind.
∀p ∈ f : f(p) = f ′ (Hp)
Abbildung 5.6b zeigt das Ergebnis des Backward mapping mit gerundeten Pixeln. Nur die Bildkanten weisen noch
Unstetigkeiten auf.
Backward mapping mit bilinearer Interpolation
Noch bessere Ergebnisse liefert Backward mapping, wenn die Farbwerte mit der, in Abschnitt 3.2.2 vorgestellten, bilinearen
Interpolation errechnet werden. Falls der gesuchte Pixel nicht im Raster liegt, wird der Farbwert aus den umliegenden
Pixeln interpoliert. Das Ergebnis ist in Abbildung 5.6c zu sehen.
4 Die Berechnung des Nullraum mittels SVD, wird in Anhang A.5.3 genauer beschrieben.
h33