Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

44 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.1.2 Winkel zwischen Vektoren
Der Winkel θ zwischen zwei Vektoren u und v aus dem R 3 steht wie folgt, in Relation zum Skalar- und Kreuzprodukt:
�u × v� = �u��v�sinθ und u · v = �u��v�cosθ
Für das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt sowie für orthogonale Vektoren gilt ferner:
A.2 Projektive Geometrie in 2D
u ⊥ w ∧ v ⊥ w ⇐⇒ u · w = v · w = 0 ⇐⇒ w = u × v
Dieser Abschnitt wiederholt die Grundlagen zur Projektiven Geometrie welche für die Bildverarbeitung relevant sind.
Da mit Punkten und Linien in Bildern operiert wird, soll sich hier auf 2 Dimensionen beschränkt werden.
A.2.1 Punkte und Linien in 2D
Ein 2D Punkt p = (x, y) ⊤ aus R 2 wird repräsentiert durch eine homogene Koordinate ˜p = (wx, wy, w) ⊤ im projektiven
Raum P 3 . Dabei ist w eine beliebige Konstante ungleich Null. Ein karthesischer Punkt aus R 2 kann somit durch
hinzufügen eines dritten Elementes z = 0 zu einem idealen Punkt erweitert werden.
Umgekehrt kann eine homogene Koordinate ˜p ∈ P 3 zu einem karthesischen Punkt q ∈ R 2 umgewandelt werden, indem
durch das dritte Element geteilt wird. Dies funktioniert allerdings nicht mit sogenannten idealen Punkten, da diese im
Unendlichen liegen!
˜p = (p1, p2, p3) ⊤ =⇒ q =
� �
p1 p2
⊤
p3
, p3
Eine Linie in 2D wird durch die Gleichung ax+by+c = 0 dargestellt, wobei sie durch die Parameter a, b und c definiert
wird. Sie kann als 3D Zeilenvektor l = (a, b, c) geschrieben werden. Für Linien im projektiven Raum gelten folgende
Regeln:
• Ein Punkt ˜p liegt auf der Linie l genau dann, wenn gilt l˜p = l ⊤ · ˜p = 0
• Ein Punkt ˜p bildet den Schnittpunkt zweier Linien l1 und l2 genau dann, wenn gilt l1˜p = l2˜p = 0
• Der Schnittpunkt ˜p zweier Linien l1 und l2 ist definiert durch ˜p = l ⊤ 1 × l⊤ 2
• Zwei Punkte ˜p und ˜q definieren eine Linie l mit l = (˜p × ˜q) ⊤
• Die Distanz eines Punktes ˜p senkrecht zu einer Linie l ist gegeben durch d(˜p, l) =
A.2.2 Dualitätsprinzip
l˜p
w � a 2 + b 2
In der projektiven Ebene gilt das so genannte Dualitätsprinzip. Es besagt, das jedes Theorem oder Axiom gültig bleibt,
wenn man das Wort Linie durch Punkt und umgekehrt ersetzt. Beispielsweise gilt „ Zwei Punkte definieren eine Linie“
ebenso wie „ Zwei Linien definieren einen Punkt“ (vgl. Formeln in Abschnitt A.2.1).
Zwei Linien definieren einen Punkt indem sie sich schneiden. Eine Ausnahme sind parallele Linien im euklidischen
Raum. Im projektiven Raum allerdings, liegt der Schnittpunkt zweier Parallelen im Unendlichen.
A.3 Rigide Transformationen in 3D
Allgemein lassen sich starre Transformationen durch eine Matrixmultiplikation ˜p = H˜q im P 4 darstellen, wobei ein
Punkt ˜q ∈ R 4 auf einen Punkt ˜p ∈ R 4 abgebildet wird. Dabei ist in der Matrix H ∈ R 4×4 eine Rotationsmatrix und ein
Translationsvektor enthalten.
H =
�
R
�
t
0 0 0 1
wobei R ∈ R 3×3 , t ∈ R 3×1