Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel
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30 KAPITEL 4. REKONSTRUKTION VON SCHICHTBILDERN<br />
Anwendung des Theorems<br />
Anstatt eine inverse Radontransformation zu suchen, geht man beim Fourier Slice Theorem den Umweg durch den Frequenzraum,<br />
wie Abbildung 4.5 zeigt. Man sammelt zunächst alle 1D fouriertransformieren Projektionen und fügt sie<br />
entsprechend ihrer Winkel, radial in eine Bildmatrix F(u, v) ein. Die Pixelkoordinaten müssen dabei aus den Polarkoordinaten<br />
interpoliert werden. Mittels inverser 2D-Fouriertransformation, wird im letzten Schritt aus der Bildmatrix das<br />
gesuchte Schichtbild rekonstruiert.<br />
1D<br />
Fourier-<br />
Transformation<br />
4.2.3 Filtered Backprojection<br />
gemessene<br />
Einzelprojektion<br />
sammeln aller<br />
Einzelprojektionen<br />
inverse<br />
Radontransformation<br />
Ortsraum<br />
Frequenzraum<br />
rekonstruiertes<br />
Bild<br />
interpolation in<br />
rechtwinklige<br />
Koordinaten<br />
Inverse 2D<br />
Fourier-<br />
Transformation<br />
Abbildung 4.5: Anwendung des Fourier Slice Theorems (nach [7])<br />
Bei der gefilterten Rückprojektion geht man nach dem oben vorgestellten Prinzip der Rückprojektion (Abschnitt 4.2.1)<br />
vor. Im Gegensatz zum Fourier Slice Theorem, wo erst alle Projektionen vorhanden sein müssen, kann die Rekonstruktion<br />
bei der gefilterten Rückprojektion schon während der Untersuchung, mit dem ersten Zeilenbild beginnen.<br />
Prinzip des Filterns<br />
Da echte Projektionsbilder nie so akkurat sind, wie im Beispiel gezeigt, sind real rekonstruierte Bilder fehlerbehaftet.<br />
Fehler und Artefakte können z.B. durch Sensorrauschen oder durch Bewegungen des Patienten während der Untersuchung<br />
versursacht werden. Durch diese Fehler in der Projektion wird das rekonstruierte Bild undeutlich und verschmiert.<br />
Abbildung 4.6a zeigt, wie sich die Fehler bei der Rückprojektion auswirken. Abhilfe schafft die Filterung der aufgenommenen<br />
Bildzeile vor der Rückprojektion. Hier werden die wesentlichen Bildteile verstärkt und die fehlerhaften Bereiche<br />
ausgefiltert, siehe Abbildung 4.6b.<br />
Angewandte Filter<br />
Die in [25] und [35] vorgestellten Filter sind der Shepp-Logan Filter und der RamLak Filter, welche nachstehend aufgeführt<br />
sind. Bei der Filterung wird rückwärts von einem Pixel auf die Projektion gezielt und der entsprechende Detektorwert<br />
interpoliert. Dabei gilt t ∈ [1..Nt], wobei Nt die Anzahl der Detektorelemente pro Sensorzeile darstellt.<br />
• Shepp-Logan Filter:<br />
g[t] =<br />
−2<br />
π(4t 2 − 1)
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