Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

46 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.4 Quaternionen
Abbildung A.1: Anwendung der Rodrigues-Formel (siehe [25])
Quaternionen können als Erweiterung von komplexen Zahlen angesehen werden. Neben der imaginären Zahl i gibt es
bei den Quaternionen noch die imaginären Zahlen j und k. Für i, j und k gilt:
ii = −1, jj = −1, kk = −1 und ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j
Ein Quaternion r ist eine lineare Kombination r = w + xi + yj + zk mit realen Zahlen w, x, y und z. Eine andere
Notation ist r = (w, v) mit v = (x, y, z). Ähnlich zu den komplexen Zahlen gilt:
• Das konjugierte Quaternion ergibt sich mit r = w − xi − yj − zk
• Der Betrag eines Quaternions berechnet sich mit �r� = √ r ∗ r = � w 2 + x 2 + y 2 + z 2
• Ein Quaternion mit Länge �r� = 1 wird als Einheitsquaternion bezeichnet
• Für Einheitsquaternionen ist die Konjugierte gleich dem inversen Quaternion �r� = 1 ⇒ r = r −1
A.4.1 Multiplikation von Quaternionen
Die Multiplikation zweier Quaternionen r1 = (w1, v1) und r2 = (w2, v2) mit den Zeilenvektoren v1 = (x1, y1, z1) und
v2 = (x2, y2, z2) ist definiert als:
r1 ∗ r2 = (w1w2 + v1v ⊤ 2 , w1v2 + w2v1 + v1 × v2)
Sie ist assoziativ aber nicht kommutativ. Das Kreuzprodukt zweier Zeilenvektoren ist beschrieben mit v1 × v2 = (v ⊤ 1 ×
v ⊤ 2 ) ⊤ . Damit gilt:
r1 ∗ r2 = (w1w2 + (x1, y1, z1)(x2, y2, z2) ⊤ , w1(x2, y2, z2) + w2(x1, y1, z1) + (x1, y1, z1) × (x2, y2, z2))
⎛
⎛ ⎞
⎛⎛
⎞ ⎛ ⎞⎞
= ⎝w1w2 + (x1, y1, z1)
⎝ x2
y2
z2
⎠ , w1(x2, y2, z2) + w2(x1, y1, z1) + ⎝
Ferner kann das Produkt von Quaternionen als Matrixmultiplikation r1 ∗r2 = r1[r2]∗ geschrieben werden. Ausgeschrieben
erhält man für die Multiplikationsmatrix [r2]∗:
⎛
⎜
[r2]∗ = ⎜
⎝
w2 x2 y2 z2
−x2 w2 −z2 y2
−y2 z2 w2 −x2
−z2 −y2 x2 w2
⎞
⎟
⎠
⎝ x1
y1
z1
⎠ ×
⎝ x2
y2
z2
⎠⎠
⊤ ⎞
⎠