Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

A.5. SINGULÄRWERTZERLEGUNG 47
A.4.2 Rotation mit Quaternionen
Quaternionen bieten eine elegante Methode zur Berechnung von Rotationen im dreidimensionalen Raum, wie folgendes
Beispiel zeigt. Sei p ∈ R 3 der zu rotierende Punkt, u ∈ R 3 die Rotationsachse als Vektor mit �u� = 1, und θ ∈ R der
Drehwinkel. Dann lassen sich die Quaternionen p ′ und r wie folgt definieren:
p ′ = (0, p ⊤ ) r = (cos θ
, sinθ
2 2 u⊤ )
Damit lässt sich das Quaternion p ′ rot , welches den rotierten Punkt als Zeilenvektor enthält, berechnen:
p ′ rot
= r ∗ p ∗ r = r[p]∗[r]∗
Es lassen sich beliebig viele Rotationen r1 . . . rn nacheinander ausführen, indem man sie, wie nachstehend zusammenfasst
und wie oben gezeigt, auf einen Punkt anwendet.
A.5 Singulärwertzerlegung
r = r1 ∗ r2 ∗ · · · ∗ rn mit ri = (cos θi
, sinθi
2 2 u⊤i ), i ∈ {1 . . .n}
Die meisten Problemstellungen in der linearen Algebra können, wenn auch nicht immer optimal, mit der Singulärwertzerlegung
3 gelöst werden. Dieser Abschnitt beschreibt, wie mit der SVD der Rang und der Nullraum einer Matrix
bestimmt, sowie lineare Gleichungssysteme gelöst werden können (siehe [20]). Einen tieferen Einblick bieten [25] und
insbesondere [34]. Letzteres beschreibt ausserdem den Unterschied zwischen reduzierter und vollständiger SVD.
A.5.1 Definition der SVD
Jede Matrix A ∈ R m×n mit beliebigen m und n lässt sich in das Produkt A = UDV ⊤ zerlegen, wobei U ∈ R m×m ,
V ∈ R n×n und D ∈ R m×n gilt. Ausgeschrieben sind die Matrizen U, D und V des Produktes, wie folgt aufgebaut:
A = UDV ⊤ = � u1 u2 · · ·
⎛
σ1
� ⎜ 0
um ⎜ .
⎝ .
0
σ2
· · ·
· · ·
. ..
⎞ ⎛
0 v
0 ⎟ ⎜
⎟ ⎜
. ⎟ ⎜
. ⎠ ⎝
0 0 · · · σp
⊤ 1
v⊤ ⎞
⎟
2 ⎟
. ⎠
• Die Spalten ui aus der Matrix U sind die Eigenvektoren von AA ⊤ , daraus folgt U ⊤ U = Ip (siehe [25]).
• Die Diagonalmatrix D enthält die Singulärwerte σ1, σ2, . . . σp von A mit p = min(m, n). Für die Singulärwerte
gilt σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σp ≥ 0.
• Die Spalten vi aus der Matrix V sind die Eigenvektoren von A ⊤ A, daraus folgt V ⊤ V = Ip (siehe [25]).
A.5.2 Rang einer Matrix erzwingen
Der Rang einer Matrix, also die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Matrix, ist gleich der Anzahl der von
Null verschiedenen Singulärwerte:
Rang(A) = ♯{σi > 0}
Um einen kleineren Rang als den tatsächlichen zu erzwingen, muss man nach der SVD die Diagonalmatrix anpassen,
indem man solange alle Singulärwerte (beginnend beim kleinsten) auf Null setzt, bis der gewünschte Rang erreicht ist.
Die Ergebnissmatrix A ′ = UD ′ V ⊤ mit der angepassten Matrix D ′ hat dann den gewünschten Rang.
3 Engl.: Singular Value Decomposition (SVD)
v ⊤ n