Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

28 KAPITEL 4. REKONSTRUKTION VON SCHICHTBILDERN
4.1.2 Mathematische Darstellung
Verfolgt man einen Röntgenstrahl durch den Körper stellt man fest, dass er an Intensität verliert. Der Körper eines
Menschen besteht aus verschiedenen Gewebearten, die den Strahl unterschiedlich stark absorbieren und schwächen
(siehe Houndsfield-Skala, Abbildung 1.8).
Mathematisch wird dies als Linienintegral beschrieben. Ein Röntgenstrahl S durch einen Körper, ist definiert durch den
Winkel θ und den Abstand ρ zum Ursprung des Definitionsbereiches (siehe Abbildung 4.2a). Entlang des Strahls wirken
die Schwächungskoeffizienten µi mit der jeweiligen Größe si (siehe Abbildung 4.2b). Die Intensität I eines Strahles,
(a) Liniendarstellung (b) Schwächungskoeffizienten
Abbildung 4.2: Linienintegral durch einen Körper (aus [19])
definiert durch θ und ρ, der einen Körper durchquert hat, lässt sich mit dem folgenden Linienintegral beschreiben. Dabei
ist I0 die Anfangsintensität. Diskret versucht man das Linienintegral durch Summierung der Koeffizienten anzunähern.
4.1.3 Radontransformation
I(θ, ρ) = I0e − R µ(x,y)ds =⇒ I(θ, ρ) = I0e − P µisi
Die Radontransformation ermöglicht es, eine beliebige, integrierbare Funktion f(x, y), durch alle geraden Linienintegrale
P(θ, ρ) über das Definitionsgebiet zu beschreiben. Das ist genau was man haben will (vergleiche Abbildung 4.1).
Nach [19] lässt sich aus dem Linienintegral, wie folgt die Radontransformation herleiten.
−∞
⇔
I(θ, ρ) = I0e − R µ(x,y)ds I(θ, ρ)
⇔ = e
I0
− R µ(x,y)ds
I0
I(θ, ρ) = eR µ(x,y)ds
⇔ log( ) =
I(θ, ρ)
I0
� ∞
−∞
µ(x, y)ds
Nach Umwandlung der kartesischen Koordinaten (x, y) in die Polarkordinaten (θ, ρ) erhält man die Radontransformation.
� ∞
ˆg(ρ, θ) = µ(ρ cosθ − s sinθ, ρ sinθ + s cosθ)ds mit
� � �
ρ cosθ
=
s sinθ
� � �
−sinθ x
cosθ y
(4.1)
Eine mehr mathematische und genauere Betrachtung der Radontransformation sowie deren Anwendung in der CT, insbesondere
die Berechnung der Rückprojektion (mehr in Abschnitt 4.2), findet man in [33].
4.2 Rekonstruktion mittels Fourier Slice und Rückprojektion
Um aus den einzelnen Projektionen ein Bild zu rekonstruieren, muss man theoretisch die Inverse zur Radontransformation
bestimmen. Praktisch geschieht dies mit Hilfe des Fourier Slice Theorems (FST) oder der Filtered Backprojection
(FBP), die im Folgenden erklärt werden. Zunächst soll das Prinzip der Rekonstruktion durch Rückprojektion verdeutlicht
werden.