Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

A.3. RIGIDE TRANSFORMATIONEN IN 3D 45
A.3.1 Allgemeine Translation und Rotation
Eine Translation verschiebt einen Punkt p um einen Translationsvektor t. Dies lässt sich als Vektoraddition p ′ = p+t im
R 3 schreiben, wobei gilt t = (t1, t2, t3) ⊤ . Im P 4 lässt sich dies, wie oben gezeigt, als Matrixmultiplikation schreiben,
indem die Rotationsmatrix durch die Identitätsmatrix I3 ersetzt wird.
p ′ = Hp mit
�
H =
0
I3
0
⎛
� 1
t ⎜
= ⎜0
0 1 ⎝0
0 0
1 0
0 1
⎞
t1
t2 ⎟
t3⎠
0 0 0 1
Es gibt verschiedene Arten um Rotationen im dreidimensionalen Raum zu repräsentieren, auf die im Folgenden eingegangen
wird. Man kann um die drei Achsen des Koordinatensystemes rotieren, genannt Euler/Winkel Repräsentation
(siehe Abschnitt A.3.2) oder um eine beliebige Achse, genannt Achse/Winkel Repräsentation (siehe Abschnitt A.3.2).
Ferner kann man Rotationen mittels Quaternionen beschreiben, wie in Abschnitt A.4.2 beschrieben.
Bei den beiden ersten Repräsentationen wird die Rotationsmatrix jeweils anders gebildet. Dennoch zeichnen sich alle
Rotationsmatrizen R durch die folgenden Eigenschaften aus:
• Sie bestehen aus orthonormalen Spaltenvektoren und haben somit den Rang 3, d.h. sie sind invertierbar.
• Die Transponierte multipliziert mit der Rotationsmatrix ergibt die Identitätsmatrix R ⊤ R = RR ⊤ = I3.
• Die inverse ist gleich der transponierten Rotationsmatrix R −1 = R ⊤ .
• Der Eigenvektor entspricht der Rotationsachse und die Determinante ist immer 1.
A.3.2 Rotation nach Euler
Bei der Euler/Winkel Repräsentation wird eine Rotation um eine beliebige Achse um dem Winkel α, durch drei Rotationen
um die Achsen des Koordinatensystemes mit den entsprechenden Winkeln αx, αy und αz dargestellt. Die
Rotationsmatrix ergibt sich als Produkt der x,y und z-Rotationsmatrizen:
⎛
1
R = RxRyRz = ⎝0 0
cos αx
⎞ ⎛
0
−sin αx⎠
⎝
0 sin αx cos αx
cos αx
0
0
1
⎞⎛
−sin αx
0 ⎠⎝
sin αx 0 cos αx
cos αx
sin αx
−sin αx
cos αx
⎞
0
0⎠
0 0 1
Wichtig ist hier die Einhaltung der Reihenfolge beim Multiplizieren, da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist
und unterschiedliche Ergebnisse die Folge sind.
Eine Besonderheit ist der Gimbal Lock, der nur in dieser Repräsentation auftreten kann. So kann es vorkommen das nach
einer Drehung zwei Raumachsen aufeinander liegen (z.B Drehung um 90 ◦ um die y-Achse ⇒ x- und z-Achse liegen
aufeinander). Eine Nachfolgende Rotation um eine dieser Achsen ist dann nicht mehr eindeutig.
A.3.3 Rotation nach Rodrigues
Eine Lösung für das Gimbal Lock Problem bietet die Achse/Winkel Repräsentation. Statt um die Raumachsen zu rotieren,
wird hier um einen beliebigen Vektor als Achse gedreht. Mit der Rodrigues-Formel lässt sich die Rotationsmatrix
aus der Rotationsachse u, dargestellt als normierter Spaltenvektor, und dem Winkel θ berechnen.
R = uu ⊤ + (I3 − uu ⊤ )cosθ + [u]×sinθ mit u = (u1, u2, u3) ⊤ , �u� = 1
Abbildung A.1 verdeutlicht die Anwendung der Rodrigues-Formel. Hier wird ein Punkt v durch eine Rotation (Winkel
θ um Achse u) auf Punkt v ′ abgebildet.