Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

32 KAPITEL 4. REKONSTRUKTION VON SCHICHTBILDERN
abgetastet sind. Bei der algebraischen Rekonstruktion fallen die uniformen Winkel und die 180 Grad Einschränkung
weg, wodurch sie bei Geräten mit begrenzter Beweglichkeit (z.B. C-Bögen) eingesetzt wird. Zudem benötigt man bei
der algebraischen Methode nur eine geringe Anzahl an Projektionen und die Bildqualität ist häufig besser als von FBP
[29].
Grundidee von ART
Um die Grundidee von ART zu verstehen muss man sich verdeutlichen, wie ein Strahl bei Durchquerung des Slices,
das später auf dem CT Bild zu sehen ist, beinflusst wird. Man kann das Slice, wie in Abbildung 4.8, diskret als Pixelraster
darstellen. Ein Strahl Pθ(t) wird demnach durch bestimmte Pixel verändert. Nach [29] liegen der algebraischen
Rekonstruktion folgende Annahmen zugrunde 2 :
• Grauwerte bzw. Dichte der Volumenelemente (Voxel) aus einem Körper sind Variablen.
• Eine Projektion ergibt sich aus Linearkombinationen der unbekannten Voxelwerte (Lineares Gleichungssystem).
• Rekonstruktion durch Lösen des LGS ergibt die gesuchten Voxelwerte.
Abbildung 4.8: Modellierung einer Projektion für algebraische Rekonstruktion (aus [25])
4.3.2 Projektion als lineares Gleichungssystem
Als Ausgangswert für eine Rekonstruktion liegt der, unter dem Winkel θ, an Detektor t aufgenommene Wert Pθ(t) vor.
Dieser ist abhängig von den berührten Pixelwerten f(x, y), die je nach größe der überstrichenen Fläche (siehe area in
Abbildung 4.8) gewichtet werden.
Gleichung der Projektion
Eine Projektion wird bei der algebraischen Rekonstruktion durch die folgende Gleichung beschrieben:
Dabei ist
Pθ(t) =
x�
Nx
y�
wx,y,θ,t f(x, y)
• wx,y,θ,t der Gewichtungsfaktor des Pixel an der Stelle (x, y) für Strahl t unter dem Winkel θ
• x ∈ [0..Nx] mit Nx als die Bildbreite des rekonsturierten Bildes in Pixel
• y ∈ [0..Ny] mit Ny als die Bildhöhe des rekonsturierten Bildes in Pixel
Ny
2 Die angesprochenen Pixelwerte werden hier als 3D Volumenelemente eines Körpers bezeichnet. Für die Problemstellung reicht allerdings eine
diskrete, zweidimensionale Betrachtung eines Pixelrasters aus.