Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

ii INHALTSVERZEICHNIS
3.4.2 Bilateral Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Beleuchtungskorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5.1 Beleuchtungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5.2 Retrospektive Beleuchtungskorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.3 Farbkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Rekonstruktion von Schichtbildern 27
4.1 Projektion eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 Projektionsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2 Mathematische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.3 Radontransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Rekonstruktion mittels Fourier Slice und Rückprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 Prinzip der Rückprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2 Fourier Slice Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.3 Filtered Backprojection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Algebraische Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.2 Projektion als lineares Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.3 Kaczmarz Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Bildregistrierung und Fusion 35
5.1 Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.1 Unimodale Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.2 Multimodale Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Registrierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Transformationsbasierte Registrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2 Intensitätsbasierte Registrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Blockmatching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.2 Blockgröße und Ähnlichkeitsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.3 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Homographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4.1 Projektive Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4.2 Herleitung der Homographiematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4.3 Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A Mathematische Grundlagen 43
A.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.1.1 Skalar- und Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.1.2 Winkel zwischen Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.2 Projektive Geometrie in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.2.1 Punkte und Linien in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.2.2 Dualitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.3 Rigide Transformationen in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.3.1 Allgemeine Translation und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.3.2 Rotation nach Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.3.3 Rotation nach Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.4 Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.4.1 Multiplikation von Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.4.2 Rotation mit Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.5 Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.5.1 Definition der SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.5.2 Rang einer Matrix erzwingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.5.3 Nullraum einer Matrix bestimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.5.4 Lösung von überbestimmten Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B Physikalische Grundlagen 49
B.1 Bohrsches Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
B.1.1 Aufbau und Struktur eines Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49