Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

48 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.5.3 Nullraum einer Matrix bestimmen
Der Nullraum einer Matrix wird beispielsweise verwendet um ein LGS der Form Ah = 0 zu lösen. Er kann aus der
V -Matrix der Singulärwertzerlegung konstruiert werden. Die Spaltenvektoren von V , deren zugehöriger Singulärwert
gleich Null ist, spannen den Nullraum von A auf, wie das nachstehende Beispiel verdeutlicht:
⎛
⎞
Sei A = U
⎜
⎝
σ1 0 0 0
0 σ2 0 0
0 0 σ3 0
0 0 0 σ4
⎟
⎠ V ⊤ mit σ1 > σ2 = σ3 = σ4 = 0 dann ist nullraum(A) = � �
v2 v3 v4
In der Praxis wird man Singulärwerte unter einem gewissen Schwellenwertes ε verwenden, da Singulärwerte nur im
Idealfall gleich Null sind.
A.5.4 Lösung von überbestimmten Gleichungssystemen
Ein überbestimmtes Gleichungssystem der Form Ax = a zu lösen benötigt man die Pseudoinverse A + der Matrix A.
Der Lösungsvektor x ergibt sich mit x = A + a. Diese Methode liefert die Lösung mit minimalem quadratischen Fehler.
Man kann die SVD benutzen um die Pseudoinverse einer Matrix zu berechnen. Dazu ersetzt man in der Diagonalmatrix
D alle Singulärwerte ungleich Null durch ihren Kehrwert und setzt die neue Diagonalmatrix D ′−1 in die SVD ein. Ist
A = UDV ⊤ , dann ist die Pseudoinverse wie folgt zu berechnen:
A + = V D ′−1 U ⊤ mit D ′−1 ⎛
σ
⎜
= ⎜
⎝
′ 1 0 · · · 0
0 σ ′ 2 · · · 0
.
. .. .
0 0 · · · σ ′ ⎞
⎟
⎠
p
und σ′ �
0 falls σi = 0
i = 1
σi
falls σi �= 0