felix hausdorff

§ 10. Summe und Produkt. 47
Beispiel.
^={1,2}, B = {1,2,3,...}, cc = 2, p = co.
(A, B) ist die lexikographisch geordnete Menge der Paare (a, b), die also
die Ordnung ^^^ ^^ ^^^ 2) (i, 3)... (2,1) (2, 2) (2, 3).. .
erhalten; ihr Typus ist /Soc = a>2 = a> + co. (S, J4) ist die Menge der
Paare (J, a) in der Ordnung
(1,1) (1,2) (2,1) (2, 2) (3,1) (3, 2)...,
ihr Typus ^/3 == 2a) = o).
Die Addition gleicher Summanden fiihrt auch hier wieder zur Multiplikation,
d. h. wenn alle ix^ = oc sind und /JL den Typus von M bedeutet,
so ist ]^
:Sa = ocu.
m
In der Tat ist a/i der Typus Yon (Jf ^ 4), also der Menge der lexikographisch
geordneten Paare (m, a). Die Menge dieser Paare bei festem m
sei Afnj dann ist
M
{M,A)=^f^A^,
woraus wegen A^ ^^ A die behauptete Typengleichimg folgt. (x/ji entsteht,
indem man „a in jw einsetzt", d. h. in eine Menge ¥om Typus /JL fiir jedes
Element eine Menge Yom Typus a einsetzt.
Beispiele. co + ca + €E> = ft)3, 3 + 3 + 3+*"=3a> = co. Allgemein
ist nco ^=n + n + n + ''' = a)^ con = co + co + • • • +