felix hausdorff

230 Achtes Kapitel. Abbildung zweier Raume.
Das erste ist in jedem metrischen Raume, das zweite in jedem
separablen Raume erfiillt.
Das hier gegebene Verzeichnis von Axiomen kann natiirlich erganzt
werden; aber die Axiome der Gruppe I und wenigstens eins der Trennungsaxiome
sind wohl das Minimum dessen, was man von einem topologischen
Raume fordern muB, wenn er nicht gar zu abnorm ausfallen soil. Mit dem
zweiten Trennungs- und dem ersten Abzahlbarkeitsaxiom, also mit
(1,2,3,5,9) laBt sich schon eine der metrischen annahernd ahnliche
Raumtheorie begriinden. Zur Metrisierbarkeit des Raumes ist aber das
scharfste Trennungsaxiom, also (1,2,3,8,9) jedenfalls notwendig; es
sei hier ohne Beweis erwahnt, da6 zur Homoomorphie mit einem separablen
metrischen Raume die Giiltigkeit der Axiome (1, 2, 3, 6,10) notwendig
und hinreichend ist (Satz von P. Urysohn, etwas verscharft von
A. Tychonoff).
Eine interessante Kategorie topologischer Raume hat M. Frechet
aufgestellt: sie legt den BegriiBf der konvergenten Folge oder des Limes
(Grenzpunkts) zugrunde. Gewissen Punktfolgen (a:i, o^g,...) des Raumes
E sollen eindeutig Punkte x von E zugeordnet sein; eine solche Punktfolge
heiBt konvergent (nach x) und der zugeordnete Punkt x = lim x^
ihr Limes. Hierbei sollen die beiden Limesaxiome gelten:
(oc) Jede konstante Folge (rr, rr, a:, . ..) konvergiert nach x.
(^) Jede Teilfolge einer nach x konvergenten Folge konvergiert
nach X,
Der mit einer solchen Limesdefmition ausgestattete Raum heiBe
ein L'Raum,
Ist ^ g J? und konvergiert eine Punktfolge aus A nach x, so heiBe
X ein Limespunkt^) von A\ die Menge der Limespunkte von A sei Ax*
Nach dem Axiom (a) ist Ai^A*, die Mengen mit A^ — A werden als
abgeschlossen definiert. Dann gelten die Satze (1, 2, 3) iiber abgeschlossene
Mengen; das folgt leicht daraus, daB Ax eine monotone Mengenfunktion
und wegen ()5) offenbar {A + B)x = Ax + Bx ist. Die abgeschlossene
Hiille A^ von A ergibt sich dann nach § 30, 2 als groBte Menge der Folge
A^,A\. , ., ^^. . ., die durch
A^ = A, ^^+1 = ^1, A"^ == @ .1^' (ri Limeszahl)
"^
induktiv definiert ist und mit A^ Ax^ Axx^ - - - beginnt; librigens ist, ver-
moge derselben Dberlegung wie im Fall eines Baireschen Funktionensystems
(S. 167), jedenfalls A^ = A^, d. h. die groBte Menge A^ = A'f
wird schon fiir einen Index rj ^ i2 erreicht.
^) Die Limespunkte sind hier, wie wir sogleich sehen werden, nicht notwendig
mit den «-Punkten (Punkten der abgeschlossenen Hiille) identisch,
sondern bilden nur einen Teil von ihnen.
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